Номер 37.9, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 37. Вынесение общего множителя за скобки - номер 37.9, страница 162.

Условие.

37.9 а) $x^3 - 3x^2 - x;$

б) $2m^6 - 4m^3 + 6m;$

в) $y^5 - 2y^4 + y^2;$

г) $9p^4 - 18p^2 - 27p.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^3 - 3x^2 - x$, первым шагом является вынесение общего множителя за скобки. Общим множителем для всех членов многочлена является $x$, так как это наименьшая степень переменной $x$ в выражении.

Выносим $x$ за скобки: $x(x^2 - 3x - 1)$.

Далее рассмотрим квадратный трехчлен в скобках: $x^2 - 3x - 1$. Чтобы проверить, можно ли его разложить на множители с целыми коэффициентами, найдем его дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$. Для этого трехчлена коэффициенты равны $a=1$, $b=-3$, $c=-1$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

Поскольку дискриминант $\Delta = 13$ не является квадратом целого числа, корни этого трехчлена иррациональны. Это означает, что его нельзя разложить на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, полученное выражение является окончательным.

Ответ: $x(x^2 - 3x - 1)$

б) Рассмотрим выражение $2m^6 - 4m^3 + 6m$. Сначала найдем наибольший общий множитель для всех членов. Наибольший общий делитель коэффициентов 2, -4, 6 равен 2. Наименьшая степень переменной $m$ в выражении — первая. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $2m$.

Выполним вынесение за скобки: $2m(m^5 - 2m^2 + 3)$.

Теперь проанализируем многочлен в скобках: $P(m) = m^5 - 2m^2 + 3$. Попробуем найти его целые корни, которые должны быть делителями свободного члена (числа 3). Делители: $\pm 1, \pm 3$.

Проверим значение $m = -1$: $P(-1) = (-1)^5 - 2(-1)^2 + 3 = -1 - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$.

Так как $P(-1) = 0$, то $(m+1)$ является одним из множителей. Чтобы найти второй множитель, разделим многочлен $m^5 - 2m^2 + 3$ на $(m+1)$. В результате деления получаем многочлен $m^4 - m^3 + m^2 - 3m + 3$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $2m(m+1)(m^4 - m^3 + m^2 - 3m + 3)$. Многочлен четвертой степени в скобках не имеет рациональных корней и не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $2m(m+1)(m^4 - m^3 + m^2 - 3m + 3)$

в) Разложим на множители выражение $y^5 - 2y^4 + y^2$. Наименьшая степень переменной $y$ — вторая, поэтому общим множителем является $y^2$.

Вынесем $y^2$ за скобки: $y^2(y^3 - 2y^2 + 1)$.

Рассмотрим многочлен в скобках $P(y) = y^3 - 2y^2 + 1$. Проверим наличие целых корней среди делителей свободного члена (числа 1): $\pm 1$.

Подставим $y = 1$: $P(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Поскольку $P(1) = 0$, то $(y-1)$ является множителем. Разделив $y^3 - 2y^2 + 1$ на $(y-1)$, получим частное $y^2 - y - 1$.

Теперь у нас есть разложение $y^2(y-1)(y^2 - y - 1)$. Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $y^2 - y - 1$. Его дискриминант $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$. Так как дискриминант не является точным квадратом, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $y^2(y-1)(y^2 - y - 1)$

г) В выражении $9p^4 - 18p^2 - 27p$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель коэффициентов 9, 18 и 27 равен 9. Наименьшая степень переменной $p$ равна 1. Следовательно, общий множитель — $9p$.

Выносим $9p$ за скобки: $9p(p^3 - 2p - 3)$.

Далее проанализируем многочлен в скобках $P(p) = p^3 - 2p - 3$. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-3): $\pm 1, \pm 3$.

Проверим каждый из них:
$P(1) = 1^3 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \neq 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2 \neq 0$
$P(3) = 3^3 - 2(3) - 3 = 27 - 6 - 3 = 18 \neq 0$
$P(-3) = (-3)^3 - 2(-3) - 3 = -27 + 6 - 3 = -24 \neq 0$

Поскольку ни один из возможных целых корней не обращает многочлен в ноль, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $9p(p^3 - 2p - 3)$