Номер 40.15, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.15 а) $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3;$

Б) $c^2 + 2c - d^2 + 2d;$

В) $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3;$

Г) $m^2 - 2n - m - 4n^2.$

а) Для того чтобы разложить на множители многочлен $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$, применим метод группировки. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(x^3 - x^2y) - (xy^2 - y^3)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$, а во второй — $y^2$. Обратите внимание, что при вынесении знака "минус" перед второй скобкой знаки слагаемых в ней изменились на противоположные.

$x^2(x - y) - y^2(x - y)$

Теперь мы видим общий для обоих слагаемых множитель $(x - y)$, который также можно вынести за скобки:

$(x - y)(x^2 - y^2)$

Выражение во второй скобке $(x^2 - y^2)$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x - y)(x - y)(x + y)$

Запишем полученное выражение в более компактном виде:

$(x - y)^2(x + y)$

Ответ: $(x-y)^2(x+y)$

б) Чтобы разложить на множители многочлен $c^2 + 2c - d^2 + 2d$, перегруппируем его члены. Удобнее всего сгруппировать члены с квадратами и члены первой степени:

$(c^2 - d^2) + (2c + 2d)$

Первая группа $(c^2 - d^2)$ — это разность квадратов. Разложим ее по формуле:

$(c - d)(c + d)$

Во второй группе $(2c + 2d)$ вынесем за скобки общий множитель 2:

$2(c + d)$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$(c - d)(c + d) + 2(c + d)$

Общим множителем является скобка $(c + d)$. Вынесем ее за скобки:

$(c + d)((c - d) + 2)$

Раскрыв внутренние скобки, получим окончательный результат:

$(c + d)(c - d + 2)$

Ответ: $(c+d)(c-d+2)$

в) Разложим на множители многочлен $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$ методом группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два:

$(a^3 + a^2b) - (ab^2 + b^3)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^2$, а во второй — $b^2$:

$a^2(a + b) - b^2(a + b)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a + b)$, который мы выносим за скобки:

$(a + b)(a^2 - b^2)$

Выражение $(a^2 - b^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле:

$(a + b)(a - b)(a + b)$

Запишем результат в более компактном виде:

$(a + b)^2(a - b)$

Ответ: $(a+b)^2(a-b)$

г) Для разложения на множители многочлена $m^2 - 2n - m - 4n^2$ перегруппируем его члены. Сгруппируем члены, содержащие квадраты, и оставшиеся члены:

$(m^2 - 4n^2) - (m + 2n)$

Выражение в первой скобке $(m^2 - 4n^2)$ является разностью квадратов, так как $4n^2 = (2n)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(m - 2n)(m + 2n)$

Теперь всё выражение выглядит так:

$(m - 2n)(m + 2n) - (m + 2n)$

Мы видим общий множитель $(m + 2n)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $(m - 2n)$, а от второго $-1$:

$(m + 2n)((m - 2n) - 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m + 2n)(m - 2n - 1)$

Ответ: $(m+2n)(m-2n-1)$