Номер 40.10, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.10 a) $(m+3)^3 - 8;$

Б) $(c-1)^3 + 27;$

В) $(a-12)^3 - 125;$

Г) $(b+4)^3 + 64.$

а) Для разложения на множители выражения $(m + 3)^3 - 8$ применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Сначала представим число $8$ в виде куба: $8 = 2^3$. Выражение примет вид: $(m + 3)^3 - 2^3$.
В данном случае $x = m + 3$, а $y = 2$.
Подставим эти значения в формулу разности кубов:
$((m + 3) - 2)((m + 3)^2 + (m + 3) \cdot 2 + 2^2)$
Упростим первый множитель:
$m + 3 - 2 = m + 1$
Упростим второй множитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$(m^2 + 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2) + (2m + 6) + 4 = m^2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4 = m^2 + 8m + 19$
В результате получаем произведение:
$(m + 1)(m^2 + 8m + 19)$
Ответ: $(m + 1)(m^2 + 8m + 19)$

б) Для разложения на множители выражения $(c - 1)^3 + 27$ используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим число $27$ в виде куба: $27 = 3^3$. Выражение примет вид: $(c - 1)^3 + 3^3$.
Здесь $x = c - 1$, а $y = 3$.
Подставим значения в формулу суммы кубов:
$((c - 1) + 3)((c - 1)^2 - (c - 1) \cdot 3 + 3^2)$
Упростим первый множитель:
$c - 1 + 3 = c + 2$
Упростим второй множитель:
$(c^2 - 2c + 1) - (3c - 3) + 9 = c^2 - 2c + 1 - 3c + 3 + 9 = c^2 - 5c + 13$
В результате получаем произведение:
$(c + 2)(c^2 - 5c + 13)$
Ответ: $(c + 2)(c^2 - 5c + 13)$

в) Для разложения на множители выражения $(a - 12)^3 - 125$ применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Представим число $125$ в виде куба: $125 = 5^3$. Выражение примет вид: $(a - 12)^3 - 5^3$.
Здесь $x = a - 12$, а $y = 5$.
Подставим значения в формулу разности кубов:
$((a - 12) - 5)((a - 12)^2 + (a - 12) \cdot 5 + 5^2)$
Упростим первый множитель:
$a - 12 - 5 = a - 17$
Упростим второй множитель:
$(a^2 - 24a + 144) + (5a - 60) + 25 = a^2 - 24a + 144 + 5a - 60 + 25 = a^2 - 19a + 109$
В результате получаем произведение:
$(a - 17)(a^2 - 19a + 109)$
Ответ: $(a - 17)(a^2 - 19a + 109)$

г) Для разложения на множители выражения $(b + 4)^3 + 64$ используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим число $64$ в виде куба: $64 = 4^3$. Выражение примет вид: $(b + 4)^3 + 4^3$.
Здесь $x = b + 4$, а $y = 4$.
Подставим значения в формулу суммы кубов:
$((b + 4) + 4)((b + 4)^2 - (b + 4) \cdot 4 + 4^2)$
Упростим первый множитель:
$b + 4 + 4 = b + 8$
Упростим второй множитель:
$(b^2 + 8b + 16) - (4b + 16) + 16 = b^2 + 8b + 16 - 4b - 16 + 16 = b^2 + 4b + 16$
В результате получаем произведение:
$(b + 8)(b^2 + 4b + 16)$
Ответ: $(b + 8)(b^2 + 4b + 16)$