Номер 40.6, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.6 a) $-3x^2 + 12x - 12$;

б) $-2a^3 + 20a^2b - 50ab^2$;

В) $-5p^2 - 10pq - 5q^2$;

Г) $-36z^3 - 24z^2 - 4z$.

а) $-3x^2 + 12x - 12$

Для разложения на множители данного многочлена сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим числовым множителем для коэффициентов -3, 12 и -12 является -3.
$-3x^2 + 12x - 12 = -3(x^2 - 4x + 4)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 - 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = x$ и $b = 2$. Проверим, соответствует ли средний член $-4x$ удвоенному произведению $2ab$: $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Таким образом, выражение в скобках можно записать как $(x - 2)^2$.
Подставив это в наше первоначальное выражение, получаем окончательный результат.

Ответ: $-3(x - 2)^2$

б) $-2a^3 + 20a^2b - 50ab^2$

Сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена. Общий числовой множитель для -2, 20, -50 равен -2. Общий буквенный множитель - это $a$. Итак, выносим за скобки $-2a$.
$-2a^3 + 20a^2b - 50ab^2 = -2a(a^2 - 10ab + 25b^2)$.
Выражение в скобках, $a^2 - 10ab + 25b^2$, является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = a$ и $y = 5b$. Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot a \cdot 5b = 10ab$.
Следовательно, $a^2 - 10ab + 25b^2 = (a - 5b)^2$.
Окончательное разложение многочлена имеет вид.

Ответ: $-2a(a - 5b)^2$

в) $-5p^2 - 10pq - 5q^2$

Вынесем общий множитель -5 за скобки.
$-5p^2 - 10pq - 5q^2 = -5(p^2 + 2pq + q^2)$.
Выражение в скобках, $p^2 + 2pq + q^2$, представляет собой полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = p$ и $b = q$. Средний член $2pq$ соответствует $2ab$.
Таким образом, $p^2 + 2pq + q^2 = (p + q)^2$.
Запишем итоговый результат.

Ответ: $-5(p + q)^2$

г) $-36z^3 - 24z^2 - 4z$

Вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов -36, -24, -4 общим множителем является -4. Для переменных $z^3, z^2, z$ общим множителем является $z$. Итак, выносим $-4z$.
$-36z^3 - 24z^2 - 4z = -4z(9z^2 + 6z + 1)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $9z^2 + 6z + 1$. Это полный квадрат суммы, соответствующий формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 3z$ и $b = 1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 3z \cdot 1 = 6z$.
Следовательно, $9z^2 + 6z + 1 = (3z + 1)^2$.
Получаем окончательное разложение.

Ответ: $-4z(3z + 1)^2$