Номер 40.1, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Разложите многочлен на множители:

40.1 а) $5x^2 - 5;$

б) $18b^2 - 2c^2;$

в) $3a^2 - 12;$

г) $10x^2 - 10y^2.$

Для разложения данных многочленов на множители мы будем использовать два основных метода: вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим многочлен $5x^2 - 5$.

1. Сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Общим множителем для членов $5x^2$ и $-5$ является $5$.

$5x^2 - 5 = 5(x^2 - 1)$

2. Теперь выражение в скобках, $x^2 - 1$, представляет собой разность квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$.

3. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$ и $b=1$.

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

4. Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$5(x^2 - 1) = 5(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $5(x - 1)(x + 1)$

Рассмотрим многочлен $18b^2 - 2c^2$.

1. Вынесем общий числовой множитель за скобки. Наибольший общий делитель для $18$ и $2$ это $2$.

$18b^2 - 2c^2 = 2(9b^2 - c^2)$

2. Выражение в скобках, $9b^2 - c^2$, является разностью квадратов. Мы можем представить $9b^2$ как $(3b)^2$.

3. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3b$ и $b=c$.

$9b^2 - c^2 = (3b)^2 - c^2 = (3b - c)(3b + c)$

4. Подставим это разложение в наше выражение:

$2(9b^2 - c^2) = 2(3b - c)(3b + c)$

Ответ: $2(3b - c)(3b + c)$

Рассмотрим многочлен $3a^2 - 12$.

1. Вынесем общий числовой множитель за скобки. Общий множитель для $3a^2$ и $-12$ это $3$.

$3a^2 - 12 = 3(a^2 - 4)$

2. Выражение в скобках, $a^2 - 4$, является разностью квадратов, так как $4$ можно представить как $2^2$.

3. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a$ и $y=2$.

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$

4. Подставим полученное разложение обратно:

$3(a^2 - 4) = 3(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $3(a - 2)(a + 2)$

Рассмотрим многочлен $10x^2 - 10y^2$.

1. Вынесем общий числовой множитель за скобки, который равен $10$.

$10x^2 - 10y^2 = 10(x^2 - y^2)$

2. Выражение в скобках, $x^2 - y^2$, уже представляет собой готовую формулу разности квадратов.

3. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$ и $b=y$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

4. Запишем окончательное разложение:

$10(x^2 - y^2) = 10(x - y)(x + y)$

Ответ: $10(x - y)(x + y)$