Номер 39.48, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.48, страница 173.

Условие.

39.48 a) $\left(\frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53\right) : (152,5^2 - 27,5^2);$

б) $(36,5^2 - 27,5^2) : \left(\frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33\right);$

в) $\left(\frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41\right) : (133,5^2 - 58,5^2);$

г) $(94,5^2 - 30,5^2) : \left(\frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29\right).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Для решения выражения $(\frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53) : (152,5^2 - 27,5^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.
Упростим выражение в первых скобках. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ к числителю дроби: $97^3 - 53^3 = (97-53)(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) = 44(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)$.
Тогда вся скобка равна: $\frac{44(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} + 97 \cdot 53 = (97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) + 97 \cdot 53 = 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2$.
Это формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Следовательно, выражение равно $(97+53)^2 = 150^2 = 22500$.
Упростим выражение во вторых скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$152,5^2 - 27,5^2 = (152,5 - 27,5)(152,5 + 27,5) = 125 \cdot 180 = 22500$.
Выполним деление: $22500 : 22500 = 1$.
Ответ: 1

б) Решим выражение $(36,5^2 - 27,5^2) : (\frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33)$.
Сначала преобразуем делимое, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$36,5^2 - 27,5^2 = (36,5 - 27,5)(36,5 + 27,5) = 9 \cdot 64 = 576$.
Теперь преобразуем делитель. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ к числителю дроби: $57^3 + 33^3 = (57+33)(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2) = 90(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{90(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)}{90} - 57 \cdot 33 = (57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2) - 57 \cdot 33 = 57^2 - 2 \cdot 57 \cdot 33 + 33^2$.
Это формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Выражение равно $(57-33)^2 = 24^2 = 576$.
Выполним деление: $576 : 576 = 1$.
Ответ: 1

в) Решим выражение $(\frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41) : (133,5^2 - 58,5^2)$.
Упростим первую скобку. По формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$: $79^3 - 41^3 = (79-41)(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2) = 38(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{38(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2)}{38} + 79 \cdot 41 = (79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2) + 79 \cdot 41 = 79^2 + 2 \cdot 79 \cdot 41 + 41^2$.
По формуле квадрата суммы $(a+b)^2$: $(79+41)^2 = 120^2 = 14400$.
Упростим вторую скобку по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$133,5^2 - 58,5^2 = (133,5 - 58,5)(133,5 + 58,5) = 75 \cdot 192 = 14400$.
Выполним деление: $14400 : 14400 = 1$.
Ответ: 1

г) Решим выражение $(94,5^2 - 30,5^2) : (\frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29)$.
Упростим делимое по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$94,5^2 - 30,5^2 = (94,5 - 30,5)(94,5 + 30,5) = 64 \cdot 125 = 8000$.
Упростим делитель. По формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$: $69^3 + 29^3 = (69+29)(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2) = 98(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{98(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2)}{98} - 69 \cdot 29 = (69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2) - 69 \cdot 29 = 69^2 - 2 \cdot 69 \cdot 29 + 29^2$.
По формуле квадрата разности $(a-b)^2$: $(69-29)^2 = 40^2 = 1600$.
Выполним деление: $8000 : 1600 = 5$.
Ответ: 5