Номер 39.53, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

39.53 Постройте график уравнения:

а) $(x + 2y)^2 - (2x - y)^2 = 0;$

б) $(2x - y + 3)^2 - (x - 2y - 3)^2 = 0;$

в) $(3x + 2y)^2 - (2x + 3y)^2 = 0;$

г) $(3x + 2y - 6)^2 - (x + y - 1)^2 = 0.$

Данное уравнение имеет вид $A^2 - B^2 = 0$, где $A = x + 2y$ и $B = 2x - y$. Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$( (x + 2y) - (2x - y) )( (x + 2y) + (2x - y) ) = 0$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(x + 2y - 2x + y)(x + 2y + 2x - y) = 0$

$(-x + 3y)(3x + y) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение эквивалентно совокупности двух линейных уравнений:

$-x + 3y = 0$ или $3x + y = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $3y = x \implies y = \frac{1}{3}x$

2) $y = -3x$

Графиком исходного уравнения является объединение двух прямых: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = -3x$. Для построения каждой прямой достаточно двух точек. Обе прямые проходят через начало координат $(0,0)$. В качестве второй точки для $y = \frac{1}{3}x$ можно взять $(3,1)$. В качестве второй точки для $y = -3x$ можно взять $(1,-3)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух прямых $y = \frac{1}{3}x$ и $y = -3x$, пересекающихся в начале координат.

Данное уравнение имеет вид $A^2 - B^2 = 0$, где $A = 2x - y + 3$ и $B = x - 2y - 3$. Применим формулу разности квадратов.

$( (2x - y + 3) - (x - 2y - 3) )( (2x - y + 3) + (x - 2y - 3) ) = 0$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(2x - y + 3 - x + 2y + 3)(2x - y + 3 + x - 2y - 3) = 0$

$(x + y + 6)(3x - 3y) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x + y + 6 = 0$ или $3x - 3y = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $y = -x - 6$

2) $3(x - y) = 0 \implies x - y = 0 \implies y = x$

Графиком исходного уравнения является объединение двух прямых: $y = -x - 6$ и $y = x$. Для построения прямой $y = -x - 6$ можно использовать точки $(0, -6)$ и $(-6, 0)$. Прямая $y=x$ является биссектрисой I и III координатных углов и проходит через точки $(0,0)$ и $(1,1)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух прямых $y = -x - 6$ и $y = x$.

Данное уравнение имеет вид $A^2 - B^2 = 0$, где $A = 3x + 2y$ и $B = 2x + 3y$. Применим формулу разности квадратов.

$( (3x + 2y) - (2x + 3y) )( (3x + 2y) + (2x + 3y) ) = 0$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(3x + 2y - 2x - 3y)(3x + 2y + 2x + 3y) = 0$

$(x - y)(5x + 5y) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - y = 0$ или $5x + 5y = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $y = x$

2) $5(x + y) = 0 \implies x + y = 0 \implies y = -x$

Графиком исходного уравнения является объединение двух прямых: $y = x$ и $y = -x$. Это биссектрисы координатных углов, пересекающиеся в начале координат.

Ответ: График уравнения состоит из двух прямых $y = x$ и $y = -x$.

Данное уравнение имеет вид $A^2 - B^2 = 0$, где $A = 3x + 2y - 6$ и $B = x + y - 1$. Применим формулу разности квадратов.

$( (3x + 2y - 6) - (x + y - 1) )( (3x + 2y - 6) + (x + y - 1) ) = 0$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(3x + 2y - 6 - x - y + 1)(3x + 2y - 6 + x + y - 1) = 0$

$(2x + y - 5)(4x + 3y - 7) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$2x + y - 5 = 0$ или $4x + 3y - 7 = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $y = -2x + 5$

2) $3y = -4x + 7 \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

Графиком исходного уравнения является объединение двух прямых: $y = -2x + 5$ и $y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$. Для построения прямой $y = -2x + 5$ можно взять точки $(0, 5)$ и $(2, 1)$. Для построения прямой $y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$ можно взять точки $(1, 1)$ и $(4, -3)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух прямых $y = -2x + 5$ и $y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$.