Номер 39.52, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

39.52 а) $m^2 + 40m + * = (* + 20)^2;$

б) $* - 70pq + * = (7p - *)^2;$

в) $* + 42ac + 49c^2 = (* + *)^2;$

г) $25z^2 - * + * = (* - 8t)^2.$

а) Рассматриваем равенство $m^2 + 40m + * = (* + 20)^2$.

Правая часть равенства представляет собой квадрат суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, $(* + 20)^2$. Здесь второе слагаемое $b=20$. Первое слагаемое, которое мы обозначим как $a$, неизвестно. Развернув правую часть по формуле, получим: $(a + 20)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 20 + 20^2 = a^2 + 40a + 400$.

Сравним это с левой частью $m^2 + 40m + *$.

Сравнивая первые два члена, видим, что $a^2$ соответствует $m^2$ и $40a$ соответствует $40m$. Отсюда очевидно, что $a=m$. Это и есть недостающий член в скобках справа.

Теперь, когда мы знаем оба члена в скобках, правая часть равна $(m + 20)^2 = m^2 + 40m + 400$.

Следовательно, левая часть $m^2 + 40m + *$ должна быть равна $m^2 + 40m + 400$. Это означает, что недостающее слагаемое в левой части равно $400$.

Таким образом, искомое тождество: $m^2 + 40m + 400 = (m + 20)^2$.

Ответ: $m^2 + 40m + 400 = (m + 20)^2$.

б) Рассматриваем равенство $* - 70pq + * = (7p - *)^2$.

Правая часть — это квадрат разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В выражении $(7p - *)^2$ первое слагаемое $a = 7p$. Второе слагаемое $b$ неизвестно. Раскроем скобки по формуле: $(7p - b)^2 = (7p)^2 - 2 \cdot 7p \cdot b + b^2 = 49p^2 - 14pb + b^2$.

Сравним это с левой частью $* - 70pq + *$.

Удвоенное произведение в левой части равно $-70pq$, а в правой $-14pb$. Приравнивая их, получаем: $14pb = 70pq$.

Отсюда находим неизвестное в скобках: $b = \frac{70pq}{14p} = 5q$.

Теперь мы можем найти недостающие члены в левой части. Первый член (первая звездочка) — это квадрат первого слагаемого из скобок: $a^2 = (7p)^2 = 49p^2$.

Последний член (вторая звездочка в левой части) — это квадрат второго слагаемого из скобок: $b^2 = (5q)^2 = 25q^2$.

Получаем тождество: $49p^2 - 70pq + 25q^2 = (7p - 5q)^2$.

Ответ: $49p^2 - 70pq + 25q^2 = (7p - 5q)^2$.

в) Рассматриваем равенство $* + 42ac + 49c^2 = (* + *)^2$.

Данное равенство основано на формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Сравним левую часть $* + 42ac + 49c^2$ с развернутой формулой $A^2 + 2AB + B^2$.

Член $49c^2$ является полным квадратом, поэтому можем предположить, что это $B^2$. Тогда $B^2 = 49c^2$, откуда $B = 7c$.

Средний член $42ac$ должен соответствовать удвоенному произведению $2AB$. Подставляя найденное значение $B$, получаем: $2 \cdot A \cdot (7c) = 42ac$.

Это дает нам уравнение $14Ac = 42ac$. Отсюда находим $A = \frac{42ac}{14c} = 3a$.

Теперь мы можем заполнить все пропуски. Первое слагаемое в левой части (звездочка) равно $A^2 = (3a)^2 = 9a^2$.

Слагаемые в скобках в правой части — это $A$ и $B$, то есть $3a$ и $7c$.

Итоговое тождество: $9a^2 + 42ac + 49c^2 = (3a + 7c)^2$.

Ответ: $9a^2 + 42ac + 49c^2 = (3a + 7c)^2$.

г) Рассматриваем равенство $25z^2 - * + * = (* - 8t)^2$.

Это равенство основано на формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сравнивая правую часть $(* - 8t)^2$ с формулой, мы видим, что вычитаемое $b = 8t$.

Сравнивая левую часть $25z^2 - * + *$ с формулой, мы видим, что первый член $a^2 = 25z^2$. Отсюда $a = \sqrt{25z^2} = 5z$.

Таким образом, неизвестное слагаемое в скобках в правой части равно $5z$.

Теперь найдем недостающие члены в левой части. Средний член (первая звездочка) — это удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot (5z) \cdot (8t) = 80zt$.

Последний член (вторая звездочка) — это квадрат вычитаемого $b^2 = (8t)^2 = 64t^2$.

В результате получаем тождество: $25z^2 - 80zt + 64t^2 = (5z - 8t)^2$.

Ответ: $25z^2 - 80zt + 64t^2 = (5z - 8t)^2$.