Номер 39.46, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.46, страница 172.

Условие.

39.46 Докажите, что:

а) $51^3 - 26^3$ делится на 25;

б) $43^3 + 17^3$ делится на 60;

в) $54^3 - 14^3$ делится на 40;

г) $38^3 + 37^3$ делится на 75.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Для доказательства воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $51^3 - 26^3$, где $a = 51$ и $b = 26$:
$51^3 - 26^3 = (51 - 26)(51^2 + 51 \cdot 26 + 26^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$51 - 26 = 25$.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$25 \cdot (51^2 + 51 \cdot 26 + 26^2)$.
Так как один из множителей равен 25, а второй множитель $(51^2 + 51 \cdot 26 + 26^2)$ является целым числом (как сумма произведений целых чисел), то все произведение делится на 25 без остатка.
Ответ: Доказано, что $51^3 - 26^3$ делится на 25.

б) Для доказательства воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $43^3 + 17^3$, где $a = 43$ и $b = 17$:
$43^3 + 17^3 = (43 + 17)(43^2 - 43 \cdot 17 + 17^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$43 + 17 = 60$.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$60 \cdot (43^2 - 43 \cdot 17 + 17^2)$.
Так как один из множителей равен 60, а второй множитель является целым числом, то все произведение делится на 60 без остатка.
Ответ: Доказано, что $43^3 + 17^3$ делится на 60.

в) Для доказательства воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $54^3 - 14^3$, где $a = 54$ и $b = 14$:
$54^3 - 14^3 = (54 - 14)(54^2 + 54 \cdot 14 + 14^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$54 - 14 = 40$.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$40 \cdot (54^2 + 54 \cdot 14 + 14^2)$.
Так как один из множителей равен 40, а второй множитель является целым числом, то все произведение делится на 40 без остатка.
Ответ: Доказано, что $54^3 - 14^3$ делится на 40.

г) Для доказательства воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $38^3 + 37^3$, где $a = 38$ и $b = 37$:
$38^3 + 37^3 = (38 + 37)(38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$38 + 37 = 75$.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$75 \cdot (38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$.
Так как один из множителей равен 75, а второй множитель является целым числом, то все произведение делится на 75 без остатка.
Ответ: Доказано, что $38^3 + 37^3$ делится на 75.