Номер 39.42, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.42, страница 172.

Условие.

39.42 a) $ \frac{1}{8}a^6 - b^9; $

б) $ \frac{8}{27}a^3 + \frac{1}{64}x^9; $

В) $ \frac{1}{125}x^3 + y^6; $

Г) $ \frac{64}{729}m^3 - \frac{343}{1000}n^6. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{1}{8}a^6 - b^9$, представим его в виде разности кубов.
Первый член: $\frac{1}{8}a^6 = \frac{1}{2^3}(a^2)^3 = (\frac{1}{2}a^2)^3$.
Второй член: $b^9 = (b^3)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(\frac{1}{2}a^2)^3 - (b^3)^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{2}a^2$ и $y = b^3$.
$(\frac{1}{2}a^2 - b^3)((\frac{1}{2}a^2)^2 + (\frac{1}{2}a^2)(b^3) + (b^3)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(\frac{1}{2}a^2 - b^3)(\frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{2}a^2b^3 + b^6)$
Ответ: $(\frac{1}{2}a^2 - b^3)(\frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{2}a^2b^3 + b^6)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{8}{27}a^3 + \frac{1}{64}x^9$, представим его в виде суммы кубов.
Первый член: $\frac{8}{27}a^3 = \frac{2^3}{3^3}a^3 = (\frac{2}{3}a)^3$.
Второй член: $\frac{1}{64}x^9 = \frac{1}{4^3}(x^3)^3 = (\frac{1}{4}x^3)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(\frac{2}{3}a)^3 + (\frac{1}{4}x^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = \frac{2}{3}a$ и $y = \frac{1}{4}x^3$.
$(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3)((\frac{2}{3}a)^2 - (\frac{2}{3}a)(\frac{1}{4}x^3) + (\frac{1}{4}x^3)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3)(\frac{4}{9}a^2 - \frac{2}{12}ax^3 + \frac{1}{16}x^6)$
Сократим дробь $\frac{2}{12}$ до $\frac{1}{6}$:
$(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3)(\frac{4}{9}a^2 - \frac{1}{6}ax^3 + \frac{1}{16}x^6)$
Ответ: $(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3)(\frac{4}{9}a^2 - \frac{1}{6}ax^3 + \frac{1}{16}x^6)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{1}{125}x^3 + y^6$, представим его в виде суммы кубов.
Первый член: $\frac{1}{125}x^3 = \frac{1}{5^3}x^3 = (\frac{1}{5}x)^3$.
Второй член: $y^6 = (y^2)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(\frac{1}{5}x)^3 + (y^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \frac{1}{5}x$ и $b = y^2$.
$(\frac{1}{5}x + y^2)((\frac{1}{5}x)^2 - (\frac{1}{5}x)(y^2) + (y^2)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(\frac{1}{5}x + y^2)(\frac{1}{25}x^2 - \frac{1}{5}xy^2 + y^4)$
Ответ: $(\frac{1}{5}x + y^2)(\frac{1}{25}x^2 - \frac{1}{5}xy^2 + y^4)$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{64}{729}m^3 - \frac{343}{1000}n^6$, представим его в виде разности кубов.
Первый член: $\frac{64}{729}m^3 = \frac{4^3}{9^3}m^3 = (\frac{4}{9}m)^3$.
Второй член: $\frac{343}{1000}n^6 = \frac{7^3}{10^3}(n^2)^3 = (\frac{7}{10}n^2)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(\frac{4}{9}m)^3 - (\frac{7}{10}n^2)^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{4}{9}m$ и $b = \frac{7}{10}n^2$.
$(\frac{4}{9}m - \frac{7}{10}n^2)((\frac{4}{9}m)^2 + (\frac{4}{9}m)(\frac{7}{10}n^2) + (\frac{7}{10}n^2)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(\frac{4}{9}m - \frac{7}{10}n^2)(\frac{16}{81}m^2 + \frac{28}{90}mn^2 + \frac{49}{100}n^4)$
Сократим дробь $\frac{28}{90}$ до $\frac{14}{45}$:
$(\frac{4}{9}m - \frac{7}{10}n^2)(\frac{16}{81}m^2 + \frac{14}{45}mn^2 + \frac{49}{100}n^4)$
Ответ: $(\frac{4}{9}m - \frac{7}{10}n^2)(\frac{16}{81}m^2 + \frac{14}{45}mn^2 + \frac{49}{100}n^4)$.