Номер 39.45, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.45, страница 172.

Условие.

39.45 a) $\frac{9}{16}a^2 - 2ab + \frac{16}{9}b^2;$

б) $\frac{9}{25}a^6b^2 + a^4b^4 + \frac{25}{36}a^2b^6;$

В) $b^8 + a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4;$

Г) $0,01x^4 + y^2 - 0,2x^2y.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Данное выражение $ \frac{9}{16}a^2 - 2ab + \frac{16}{9}b^2 $ является трехчленом. Попробуем представить его в виде квадрата разности, используя формулу $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$ x^2 = \frac{9}{16}a^2 = (\frac{3}{4}a)^2 $, следовательно, $ x = \frac{3}{4}a $.

$ y^2 = \frac{16}{9}b^2 = (\frac{4}{3}b)^2 $, следовательно, $ y = \frac{4}{3}b $.

Теперь проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $ x $ и $ y $:

$ 2xy = 2 \cdot \frac{3}{4}a \cdot \frac{4}{3}b = 2 \cdot \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3}ab = 2ab $.

Средний член выражения равен $ -2ab $, что соответствует формуле квадрата разности.

Таким образом, $ \frac{9}{16}a^2 - 2ab + \frac{16}{9}b^2 = (\frac{3}{4}a)^2 - 2 \cdot (\frac{3}{4}a) \cdot (\frac{4}{3}b) + (\frac{4}{3}b)^2 = (\frac{3}{4}a - \frac{4}{3}b)^2 $.

Ответ: $ (\frac{3}{4}a - \frac{4}{3}b)^2 $

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{9}{25}a^6b^2 + a^4b^4 + \frac{25}{36}a^2b^6 $. Попробуем представить его в виде квадрата суммы по формуле $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$ x^2 = \frac{9}{25}a^6b^2 = (\frac{3}{5}a^3b)^2 $, следовательно, $ x = \frac{3}{5}a^3b $.

$ y^2 = \frac{25}{36}a^2b^6 = (\frac{5}{6}ab^3)^2 $, следовательно, $ y = \frac{5}{6}ab^3 $.

Проверим, равен ли средний член $ a^4b^4 $ удвоенному произведению $ x $ и $ y $:

$ 2xy = 2 \cdot (\frac{3}{5}a^3b) \cdot (\frac{5}{6}ab^3) = 2 \cdot \frac{15}{30} a^{3+1}b^{1+3} = 2 \cdot \frac{1}{2} a^4b^4 = a^4b^4 $.

Средний член совпадает с удвоенным произведением. Так как все члены положительны, используем формулу квадрата суммы.

Следовательно, $ \frac{9}{25}a^6b^2 + a^4b^4 + \frac{25}{36}a^2b^6 = (\frac{3}{5}a^3b + \frac{5}{6}ab^3)^2 $.

Ответ: $ (\frac{3}{5}a^3b + \frac{5}{6}ab^3)^2 $

в)

Рассмотрим выражение $ b^8 + a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 $. Это трехчлен, который можно попробовать свернуть по формуле квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$ x^2 = b^8 = (b^4)^2 $, следовательно, $ x = b^4 $.

$ y^2 = \frac{1}{4}a^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2 $, следовательно, $ y = \frac{1}{2}a^2 $.

Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $ x $ и $ y $:

$ 2xy = 2 \cdot b^4 \cdot (\frac{1}{2}a^2) = a^2b^4 $.

Средний член выражения $ a^2b^4 $ совпадает с вычисленным значением. Используем формулу квадрата суммы.

Таким образом, $ b^8 + a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4)^2 + 2(b^4)(\frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a^2)^2 = (b^4 + \frac{1}{2}a^2)^2 $.

Ответ: $ (b^4 + \frac{1}{2}a^2)^2 $

г)

Рассмотрим выражение $ 0,01x^4 + y^2 - 0,2x^2y $. Переставим члены для удобства, чтобы оно соответствовало виду формулы квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:

$ 0,01x^4 - 0,2x^2y + y^2 $.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$ x_{new}^2 = 0,01x^4 = (0,1x^2)^2 $, следовательно, $ x_{new} = 0,1x^2 $.

$ y_{new}^2 = y^2 $, следовательно, $ y_{new} = y $.

Проверим, равен ли по модулю средний член выражения удвоенному произведению $ x_{new} $ и $ y_{new} $:

$ 2x_{new}y_{new} = 2 \cdot (0,1x^2) \cdot y = 0,2x^2y $.

Средний член выражения $ -0,2x^2y $ соответствует $ -2x_{new}y_{new} $. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности.

Таким образом, $ 0,01x^4 - 0,2x^2y + y^2 = (0,1x^2)^2 - 2(0,1x^2)(y) + y^2 = (0,1x^2 - y)^2 $.

Ответ: $ (0,1x^2 - y)^2 $