Номер 39.47, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.47, страница 173.

Условие.

Вычислите наиболее рациональным способом:

39.47 a) $\frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2}{65^2 - 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2}$;

б) $\frac{59^3 - 41^3}{18} + 59 \cdot 41$;

в) $\frac{109^2 - 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2}{79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2}$;

г) $\frac{67^3 + 52^3}{119} - 67 \cdot 52$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $ \frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2}{65^2 - 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2} $

Для решения применим формулы сокращенного умножения.

1. Упростим числитель. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ 53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2 = (53^2 - 47^2) + (22^2 - 16^2) = (53-47)(53+47) + (22-16)(22+16) $

Вычислим значения в скобках:

$ (6)(100) + (6)(38) = 600 + 228 = 828 $

2. Упростим знаменатель. Здесь используется формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $ a=65 $ и $ b=59 $:

$ 65^2 - 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2 = (65-59)^2 = 6^2 = 36 $

3. Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{828}{36} = 23 $

Ответ: 23.

б) $ \frac{59^3 - 41^3}{18} + 59 \cdot 41 $

1. Рассмотрим числитель дроби. Это разность кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $ a=59 $ и $ b=41 $.

$ 59^3 - 41^3 = (59-41)(59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2) = 18 \cdot (59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2) $

2. Подставим это выражение обратно в дробь и сократим:

$ \frac{18 \cdot (59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2)}{18} = 59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2 $

3. Теперь добавим оставшуюся часть исходного выражения:

$ (59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2) + 59 \cdot 41 = 59^2 + 2 \cdot 59 \cdot 41 + 41^2 $

4. Полученное выражение является квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $ a=59 $ и $ b=41 $.

$ (59+41)^2 = 100^2 = 10000 $

Ответ: 10000.

в) $ \frac{109^2 - 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2}{79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2} $

1. Упростим числитель. Выражение в числителе соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $ a=109 $ и $ b=61 $:

$ 109^2 - 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2 = (109-61)^2 = 48^2 = 2304 $

2. Упростим знаменатель. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ 79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2 = (79^2 - 49^2) + (73^2 - 55^2) = (79-49)(79+49) + (73-55)(73+55) $

Вычислим значения:

$ (30)(128) + (18)(128) $

Вынесем общий множитель 128 за скобки:

$ (30+18) \cdot 128 = 48 \cdot 128 = 6144 $

3. Разделим числитель на знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{2304}{6144} = \frac{48^2}{48 \cdot 128} = \frac{48}{128} = \frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 16} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $.

г) $ \frac{67^3 + 52^3}{119} - 67 \cdot 52 $

1. Рассмотрим числитель дроби. Это сумма кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $ a=67 $ и $ b=52 $.

$ 67^3 + 52^3 = (67+52)(67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2) $

Так как $ 67+52=119 $, получаем:

$ 119 \cdot (67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2) $

2. Подставим это выражение в дробь и сократим:

$ \frac{119 \cdot (67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2)}{119} = 67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2 $

3. Теперь вычтем оставшуюся часть исходного выражения:

$ (67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2) - 67 \cdot 52 = 67^2 - 2 \cdot 67 \cdot 52 + 52^2 $

4. Полученное выражение является квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $ a=67 $ и $ b=52 $.

$ (67-52)^2 = 15^2 = 225 $

Ответ: 225.