Номер 39.39, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Часть 2 - номер 39.39, страница 172.

Условие.

Разложите многочлен на множители:

39.39 а) $\frac{1}{8}a^3 - \frac{8}{27}b^3;$

б) $\frac{64}{343}c^3 + \frac{729}{1000}d^3;$

в) $\frac{125}{512}x^3 - \frac{216}{343}y^3;$

г) $\frac{1}{729}m^3 + \frac{125}{216}n^3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы разложить многочлен $\frac{1}{8}a^3 - \frac{8}{27}b^3$ на множители, применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Сначала представим каждый член многочлена в виде куба:

$\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2})^3 a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$

$\frac{8}{27}b^3 = (\frac{2}{3})^3 b^3 = (\frac{2}{3}b)^3$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде: $(\frac{1}{2}a)^3 - (\frac{2}{3}b)^3$.

В данном случае $x = \frac{1}{2}a$ и $y = \frac{2}{3}b$.

Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$(\frac{1}{2}a - \frac{2}{3}b)((\frac{1}{2}a)^2 + (\frac{1}{2}a)(\frac{2}{3}b) + (\frac{2}{3}b)^2)$

Теперь упростим выражение во второй скобке, выполнив возведение в квадрат и умножение:

$(\frac{1}{2}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 + \frac{2}{6}ab + \frac{4}{9}b^2)$

Сократим дробь $\frac{2}{6}$ до $\frac{1}{3}$ и получим окончательное разложение:

$(\frac{1}{2}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{4}{9}b^2)$

Ответ: $(\frac{1}{2}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{4}{9}b^2)$.

б) Для разложения многочлена $\frac{64}{343}c^3 + \frac{729}{1000}d^3$ на множители, воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член многочлена в виде куба:

$\frac{64}{343}c^3 = (\frac{4}{7})^3 c^3 = (\frac{4}{7}c)^3$, так как $4^3 = 64$ и $7^3 = 343$.

$\frac{729}{1000}d^3 = (\frac{9}{10})^3 d^3 = (\frac{9}{10}d)^3$, так как $9^3 = 729$ и $10^3 = 1000$.

Выражение принимает вид: $(\frac{4}{7}c)^3 + (\frac{9}{10}d)^3$.

Здесь $x = \frac{4}{7}c$ и $y = \frac{9}{10}d$.

Подставим эти значения в формулу суммы кубов:

$(\frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d)((\frac{4}{7}c)^2 - (\frac{4}{7}c)(\frac{9}{10}d) + (\frac{9}{10}d)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d)(\frac{16}{49}c^2 - \frac{36}{70}cd + \frac{81}{100}d^2)$

Сократим дробь $\frac{36}{70}$ на 2, получим $\frac{18}{35}$.

Итоговое разложение:

$(\frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d)(\frac{16}{49}c^2 - \frac{18}{35}cd + \frac{81}{100}d^2)$

Ответ: $(\frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d)(\frac{16}{49}c^2 - \frac{18}{35}cd + \frac{81}{100}d^2)$.

в) Для разложения многочлена $\frac{125}{512}x^3 - \frac{216}{343}y^3$ на множители, снова применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждый член многочлена в виде куба:

$\frac{125}{512}x^3 = (\frac{5}{8})^3 x^3 = (\frac{5}{8}x)^3$, так как $5^3=125$ и $8^3=512$.

$\frac{216}{343}y^3 = (\frac{6}{7})^3 y^3 = (\frac{6}{7}y)^3$, так как $6^3=216$ и $7^3=343$.

Выражение принимает вид: $(\frac{5}{8}x)^3 - (\frac{6}{7}y)^3$.

Здесь $a = \frac{5}{8}x$ и $b = \frac{6}{7}y$.

Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$(\frac{5}{8}x - \frac{6}{7}y)((\frac{5}{8}x)^2 + (\frac{5}{8}x)(\frac{6}{7}y) + (\frac{6}{7}y)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{5}{8}x - \frac{6}{7}y)(\frac{25}{64}x^2 + \frac{30}{56}xy + \frac{36}{49}y^2)$

Сократим дробь $\frac{30}{56}$ на 2, получим $\frac{15}{28}$.

Итоговое разложение:

$(\frac{5}{8}x - \frac{6}{7}y)(\frac{25}{64}x^2 + \frac{15}{28}xy + \frac{36}{49}y^2)$

Ответ: $(\frac{5}{8}x - \frac{6}{7}y)(\frac{25}{64}x^2 + \frac{15}{28}xy + \frac{36}{49}y^2)$.

г) Для разложения многочлена $\frac{1}{729}m^3 + \frac{125}{216}n^3$ на множители, снова применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член многочлена в виде куба:

$\frac{1}{729}m^3 = (\frac{1}{9})^3 m^3 = (\frac{1}{9}m)^3$, так как $9^3 = 729$.

$\frac{125}{216}n^3 = (\frac{5}{6})^3 n^3 = (\frac{5}{6}n)^3$, так как $5^3=125$ и $6^3=216$.

Выражение принимает вид: $(\frac{1}{9}m)^3 + (\frac{5}{6}n)^3$.

Здесь $a = \frac{1}{9}m$ и $b = \frac{5}{6}n$.

Подставим эти значения в формулу суммы кубов:

$(\frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n)((\frac{1}{9}m)^2 - (\frac{1}{9}m)(\frac{5}{6}n) + (\frac{5}{6}n)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n)(\frac{1}{81}m^2 - \frac{5}{54}mn + \frac{25}{36}n^2)$

Дробь $\frac{5}{54}$ является несократимой. Таким образом, это и есть окончательный вид.

Ответ: $(\frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n)(\frac{1}{81}m^2 - \frac{5}{54}mn + \frac{25}{36}n^2)$.