Номер 40.7, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.7 a) $a^4 - 16$;

б) $b^8 - c^8$;

В) $y^8 - 1$;

Г) $x^4 - z^4$.

а) $a^4 - 16$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$.

$a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2$

Применяем формулу, где $A = a^2$ и $B = 4$:

$(a^2)^2 - 4^2 = (a^2 - 4)(a^2 + 4)$

Теперь обратим внимание на первый множитель $(a^2 - 4)$. Его также можно разложить по формуле разности квадратов, так как $a^2 = (a)^2$ и $4 = 2^2$.

$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$

Второй множитель $(a^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собираем все вместе:

$a^4 - 16 = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

б) $b^8 - c^8$

Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ последовательно несколько раз.

Представим $b^8 - c^8$ как разность квадратов, где $b^8 = (b^4)^2$ и $c^8 = (c^4)^2$.

$b^8 - c^8 = (b^4)^2 - (c^4)^2 = (b^4 - c^4)(b^4 + c^4)$

Множитель $(b^4 - c^4)$ снова является разностью квадратов: $b^4 = (b^2)^2$ и $c^4 = (c^2)^2$.

$b^4 - c^4 = (b^2)^2 - (c^2)^2 = (b^2 - c^2)(b^2 + c^2)$

Множитель $(b^2 - c^2)$ также является разностью квадратов:

$b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$b^8 - c^8 = (b - c)(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)$

Ответ: $(b - c)(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)$

в) $y^8 - 1$

Данное выражение раскладывается на множители аналогично предыдущему примеру, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим $y^8 - 1$ как разность квадратов: $y^8 = (y^4)^2$ и $1 = 1^2$.

$y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$

Разложим множитель $(y^4 - 1)$, который является разностью квадратов: $y^4 = (y^2)^2$.

$y^4 - 1 = (y^2)^2 - 1^2 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$

В свою очередь, множитель $(y^2 - 1)$ также является разностью квадратов:

$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$

Собираем все разложения вместе:

$y^8 - 1 = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$

Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$

г) $x^4 - z^4$

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $x^4 = (x^2)^2$ и $z^4 = (z^2)^2$.

$x^4 - z^4 = (x^2)^2 - (z^2)^2 = (x^2 - z^2)(x^2 + z^2)$

Первый множитель $(x^2 - z^2)$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше:

$x^2 - z^2 = (x - z)(x + z)$

Второй множитель $(x^2 + z^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Итоговое разложение:

$x^4 - z^4 = (x - z)(x + z)(x^2 + z^2)$

Ответ: $(x - z)(x + z)(x^2 + z^2)$