Номер 40.16, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Разложите многочлен на множители:

40.16 a) $x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + x - 3$;

б) $(1 - a)^2 - 4a(1 - a)^2 + 4a^2(1 - a)^2$.

а) $x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + x - 3$

Для разложения данного многочлена на множители, заметим, что выражение $(x - 3)$ является общим для всех трёх слагаемых. Представим многочлен в виде, где этот общий множитель виден явно:

$x^2 \cdot (x - 3) - 2x \cdot (x - 3) + 1 \cdot (x - 3)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 2x + 1)$

Выражение во второй скобке, $x^2 - 2x + 1$, является полным квадратом разности. Его можно свернуть, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 1$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Подставляя полученное выражение обратно, мы получаем окончательное разложение на множители:

$(x - 3)(x - 1)^2$

Ответ: $(x - 3)(x - 1)^2$.

б) $(1 - a)^2 - 4a(1 - a)^2 + 4a^2(1 - a)^2$

В этом выражении мы видим, что $(1 - a)^2$ является общим множителем для всех слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(1 - a)^2(1 - 4a + 4a^2)$

Рассмотрим многочлен во второй скобке: $1 - 4a + 4a^2$. Это выражение также является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(X - Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$.

В нашем случае $X = 1$ и $Y = 2a$. Проверим: $X^2 = 1^2 = 1$, $Y^2 = (2a)^2 = 4a^2$, и $2XY = 2 \cdot 1 \cdot 2a = 4a$.

Таким образом, $1 - 4a + 4a^2 = (1 - 2a)^2$.

Теперь мы можем записать исходное выражение в разложенном на множители виде:

$(1 - a)^2(1 - 2a)^2$

Ответ: $(1 - a)^2(1 - 2a)^2$.