Номер 40.20, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.20 Постройте график уравнения:

а) $xy^2 = 4x;$

б) $x^2 + 4x - xy - 2y + 4 = 0;$

в) $yx^2 + 9y = 0;$

г) $x^2 + xy - 2y - 4 = 0.$

а)

Дано уравнение $xy^2 = 4x$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$xy^2 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(y^2 - 4) = 0$
Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(y - 2)(y + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность трех уравнений:

1. $x = 0$ — это уравнение оси ординат (оси Y).

2. $y - 2 = 0$, откуда $y = 2$ — это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку $(0, 2)$.

3. $y + 2 = 0$, откуда $y = -2$ — это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку $(0, -2)$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является объединение этих трех прямых.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение трех прямых: оси OY ($x=0$), и двух горизонтальных прямых $y=2$ и $y=-2$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 4x - xy - 2y + 4 = 0$.
Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители. Сгруппируем первые два и последний член, а также третий и четвертый:
$(x^2 + 4x + 4) - (xy + 2y) = 0$
Первая скобка представляет собой полный квадрат суммы $(x+2)^2$. Из второй скобки вынесем общий множитель $y$:
$(x+2)^2 - y(x+2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:
$(x+2)(x+2 - y) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку $(-2, 0)$.

2. $x + 2 - y = 0$, откуда $y = x + 2$ — это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, например, если $x=0$, то $y=2$; если $y=0$, то $x=-2$. Прямая проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Таким образом, графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых, которые пересекаются в точке $(-2, 0)$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух прямых: вертикальной прямой $x=-2$ и прямой $y=x+2$.

в)

Дано уравнение $yx^2 + 9y = 0$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(x^2 + 9) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $y = 0$ — это уравнение оси абсцисс (оси X).

2. $x^2 + 9 = 0$, откуда $x^2 = -9$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, единственной линией, удовлетворяющей исходному уравнению в системе действительных координат, является прямая $y=0$.

Ответ: График уравнения представляет собой ось абсцисс (прямую $y=0$).

г)

Дано уравнение $x^2 + xy - 2y - 4 = 0$.
Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первый член с последним, а второй с третьим:
$(x^2 - 4) + (xy - 2y) = 0$
Первую скобку разложим по формуле разности квадратов. Из второй скобки вынесем общий множитель $y$:
$(x - 2)(x + 2) + y(x - 2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:
$(x - 2)((x + 2) + y) = 0$
$(x - 2)(x + y + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку $(2, 0)$.

2. $x + y + 2 = 0$, откуда $y = -x - 2$ — это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, например, если $x=0$, то $y=-2$; если $y=0$, то $x=-2$. Прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(-2, 0)$.

Таким образом, графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых, которые пересекаются в точке $(2, -4)$, так как при $x=2$ из второго уравнения $y = -2 - 2 = -4$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух прямых: вертикальной прямой $x=2$ и прямой $y=-x-2$.