Номер 40.21, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Разложите многочлен на множители, используя метод выделения полного квадрата двучлена:

40.21

а) $x^2 - 10x + 24$;

б) $y^4 - 14y^2 + 40;

в) $b^4 + 4b^2 - 5$;

г) $a^2 - 6a + 5.

а) $x^2 - 10x + 24$

Чтобы разложить многочлен на множители, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Для этого рассмотрим первые два члена $x^2 - 10x$. Они напоминают первые два члена формулы квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Член $-2ab$ соответствует $-10x$. Подставим $a=x$: $-2xb = -10x$. Отсюда находим $b$: $b = \frac{10x}{2x} = 5$.

Для получения полного квадрата нам не хватает члена $b^2 = 5^2 = 25$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и вычтем 25:

$x^2 - 10x + 24 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 24$

Сгруппируем члены. Первые три члена образуют полный квадрат $(x-5)^2$. Оставшиеся числа складываем: $-25 + 24 = -1$.

$(x^2 - 10x + 25) - 1 = (x-5)^2 - 1$

Полученное выражение является разностью квадратов $A^2 - B^2$, где $A = (x-5)$ и $B = 1$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$(x-5)^2 - 1^2 = ((x-5) - 1)((x-5) + 1)$

Упростим выражения в скобках:

$(x - 5 - 1)(x - 5 + 1) = (x-6)(x-4)$

Ответ: $(x-6)(x-4)$.

б) $y^4 - 14y^2 + 40$

Данный многочлен является биквадратным. Применим метод выделения полного квадрата, рассматривая $y^2$ как переменную. Выражение $y^4 - 14y^2$ является частью квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = y^4 = (y^2)^2$, значит $a=y^2$. Удвоенное произведение $-2ab$ соответствует $-14y^2$. Подставим $a=y^2$: $-2 \cdot y^2 \cdot b = -14y^2$. Отсюда $b = \frac{14y^2}{2y^2} = 7$.

Для полного квадрата необходим член $b^2 = 7^2 = 49$. Добавим и вычтем 49:

$y^4 - 14y^2 + 40 = (y^4 - 14y^2 + 49) - 49 + 40$

Группируем: первые три члена образуют $(y^2-7)^2$. Оставшиеся числа: $-49 + 40 = -9$.

$(y^4 - 14y^2 + 49) - 9 = (y^2-7)^2 - 9$

Мы получили разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = (y^2-7)$ и $B^2=9$, то есть $B=3$.

$(y^2-7)^2 - 3^2 = ((y^2-7) - 3)((y^2-7) + 3)$

Упростим выражения в скобках:

$(y^2 - 10)(y^2 - 4)$

Множитель $(y^2-4)$ также является разностью квадратов: $y^2 - 2^2 = (y-2)(y+2)$.

$(y^2-10)(y-2)(y+2)$

Ответ: $(y^2-10)(y-2)(y+2)$.

в) $b^4 + 4b^2 - 5$

Используем метод выделения полного квадрата. Выражение $b^4 + 4b^2$ будет частью квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$ (используем $c$, чтобы не путать с переменной $b$ из многочлена).

Здесь $a^2 = b^4 = (b^2)^2$, значит $a=b^2$. Член $2ac$ соответствует $4b^2$. Подставим $a=b^2$: $2 \cdot b^2 \cdot c = 4b^2$. Отсюда $c = \frac{4b^2}{2b^2} = 2$.

Для полного квадрата нужен член $c^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:

$b^4 + 4b^2 - 5 = (b^4 + 4b^2 + 4) - 4 - 5$

Группируем: первые три члена образуют $(b^2+2)^2$. Оставшиеся числа: $-4 - 5 = -9$.

$(b^4 + 4b^2 + 4) - 9 = (b^2+2)^2 - 9$

Это разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = (b^2+2)$ и $B=3$.

$(b^2+2)^2 - 3^2 = ((b^2+2) - 3)((b^2+2) + 3)$

Упростим:

$(b^2 - 1)(b^2 + 5)$

Множитель $(b^2-1)$ является разностью квадратов: $b^2 - 1^2 = (b-1)(b+1)$.

$(b-1)(b+1)(b^2+5)$

Ответ: $(b-1)(b+1)(b^2+5)$.

г) $a^2 - 6a + 5$

Применим метод выделения полного квадрата. Выражение $a^2 - 6a$ — это часть формулы $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x^2 = a^2$, значит $x=a$. Член $-2xy$ соответствует $-6a$. Подставим $x=a$: $-2ay = -6a$. Отсюда $y = \frac{6a}{2a} = 3$.

Для полного квадрата не хватает $y^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9:

$a^2 - 6a + 5 = (a^2 - 6a + 9) - 9 + 5$

Группируем: $(a^2 - 6a + 9)$ это $(a-3)^2$. Оставшиеся числа: $-9 + 5 = -4$.

$(a^2 - 6a + 9) - 4 = (a-3)^2 - 4$

Получили разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A=(a-3)$ и $B^2=4$, то есть $B=2$.

$(a-3)^2 - 2^2 = ((a-3) - 2)((a-3) + 2)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(a-3-2)(a-3+2) = (a-5)(a-1)$

Ответ: $(a-5)(a-1)$.