Номер 38.12, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

38.12 Решите уравнение:

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0$;

б) $x^4 + x^3 - 8x - 8 = 0$;

в) $x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0$;

г) $x^4 - 3x^3 - x + 3 = 0$.

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + 2x^2) + (3x + 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) + 3(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$(x + 2)(x^2 + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

2) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-2$.

б) $x^4 + x^3 - 8x - 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 + x^3) - (8x + 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^3(x + 1) - 8(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(x^3 - 8) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

2) $x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = \sqrt[3]{8} \implies x = 2$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 2$.

в) $x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (5x + 15) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) + 5(x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 3)$:

$(x + 3)(x^2 + 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

2) $x^2 + 5 = 0 \implies x^2 = -5$. Уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-3$.

г) $x^4 - 3x^3 - x + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 - 3x^3) - (x - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^3(x - 3) - 1(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$:

$(x - 3)(x^3 - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

2) $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]{1} \implies x = 1$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; 3$.