Номер 38.17, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Разложите многочлен на множители, представив один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

38.17 а) $x^2 + 6x + 8$;

б) $x^2 - 8x + 15$;

в) $x^2 + 3x + 2$;

г) $x^2 - 5x + 6.

а) Чтобы разложить многочлен $x^2 + 6x + 8$ на множители, необходимо представить средний член $6x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдём два числа, сумма которых равна коэффициенту при $x$, то есть $6$, а произведение равно свободному члену, то есть $8$.
Такими числами являются $2$ и $4$, поскольку $2 + 4 = 6$ и $2 \cdot 4 = 8$.
Теперь представим $6x$ в виде суммы $2x + 4x$ и выполним разложение методом группировки:
$x^2 + 6x + 8 = x^2 + 2x + 4x + 8$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 2x) + (4x + 8)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $x(x + 2) + 4(x + 2)$.
Вынесем общий множитель $(x + 2)$: $(x + 2)(x + 4)$.
Ответ: $(x + 2)(x + 4)$.

б) Для разложения многочлена $x^2 - 8x + 15$ на множители ищем два числа, сумма которых равна $-8$, а произведение равно $15$.
Поскольку сумма отрицательна, а произведение положительно, оба числа должны быть отрицательными. Такими числами являются $-3$ и $-5$, так как $(-3) + (-5) = -8$ и $(-3) \cdot (-5) = 15$.
Представим $-8x$ в виде суммы $-3x - 5x$ и применим метод группировки:
$x^2 - 8x + 15 = x^2 - 3x - 5x + 15$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 3x) + (-5x + 15)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $x(x - 3) - 5(x - 3)$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$: $(x - 3)(x - 5)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 5)$.

в) Чтобы разложить многочлен $x^2 + 3x + 2$ на множители, ищем два числа, сумма которых равна $3$, а произведение равно $2$.
Такими числами являются $1$ и $2$, так как $1 + 2 = 3$ и $1 \cdot 2 = 2$.
Представим $3x$ как $x + 2x$ и выполним разложение:
$x^2 + 3x + 2 = x^2 + x + 2x + 2$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + x) + (2x + 2)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $x(x + 1) + 2(x + 1)$.
Вынесем общий множитель $(x + 1)$: $(x + 1)(x + 2)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 2)$.

г) Для разложения многочлена $x^2 - 5x + 6$ на множители ищем два числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$.
Поскольку сумма отрицательна, а произведение положительно, оба числа отрицательны. Такими числами являются $-2$ и $-3$, так как $(-2) + (-3) = -5$ и $(-2) \cdot (-3) = 6$.
Представим $-5x$ как $-2x - 3x$ и разложим на множители:
$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2x) + (-3x + 6)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $x(x - 2) - 3(x - 2)$.
Вынесем общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.