Номер 38.20, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите уравнение:

38.20

a) $x^2 - 3x + 2 = 0;$

б) $x^2 + 8x + 15 = 0;$

в) $x^2 - 6x + 8 = 0;$

г) $x^2 - 3x - 4 = 0.$

а) $x^2 - 3x + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты в данном уравнении: $a=1$, $b=-3$, $c=2$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Так как $D > 0$ (дискриминант положителен), уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Проверим решение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2 + 1 = 3$. По теореме Виета, $x_1+x_2 = -b = -(-3) = 3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c = 2$.
Корни найдены верно.
Ответ: $1; 2$.

б) $x^2 + 8x + 15 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=8$, $c=15$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Проверим решение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -3 + (-5) = -8$. По теореме Виета, $x_1+x_2 = -b = -8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot (-5) = 15$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c = 15$.
Корни найдены верно.
Ответ: $-5; -3$.

в) $x^2 - 6x + 8 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Проверим решение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4 + 2 = 6$. По теореме Виета, $x_1+x_2 = -b = -(-6) = 6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 2 = 8$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c = 8$.
Корни найдены верно.
Ответ: $2; 4$.

г) $x^2 - 3x - 4 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Проверим решение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4 + (-1) = 3$. По теореме Виета, $x_1+x_2 = -b = -(-3) = 3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-1) = -4$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c = -4$.
Корни найдены верно.
Ответ: $-1; 4$.