Номер 38.19, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

38.19 a) $a^2 + 8ab - 9b^2;$

б) $a^2 + 16ab + 55b^2;$

в) $x^2 + 4xy - 12y^2;$

г) $x^2 + 16xy + 39y^2.$

а) Для разложения многочлена $a^2 + 8ab - 9b^2$ на множители применим метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем слагаемое, необходимое для получения полного квадрата из выражения $a^2 + 8ab$. Таким слагаемым является $(\frac{8b}{2})^2 = (4b)^2 = 16b^2$.
$a^2 + 8ab - 9b^2 = (a^2 + 8ab + 16b^2) - 16b^2 - 9b^2$
Выражение в скобках является полным квадратом $(a+4b)^2$. Получаем:
$(a+4b)^2 - 25b^2$
Это разность квадратов вида $X^2 - Y^2$, где $X = a+4b$ и $Y = \sqrt{25b^2} = 5b$. Используя формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, получаем:
$((a+4b) - 5b)((a+4b) + 5b) = (a - b)(a + 9b)$
Ответ: $(a - b)(a + 9b)$.

б) Разложим на множители выражение $a^2 + 16ab + 55b^2$, используя метод выделения полного квадрата. Выделим полный квадрат для первых двух слагаемых. Для этого добавим и вычтем $(\frac{16b}{2})^2 = (8b)^2 = 64b^2$.
$a^2 + 16ab + 55b^2 = (a^2 + 16ab + 64b^2) - 64b^2 + 55b^2$
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат $(a+8b)^2$:
$(a+8b)^2 - 9b^2$
Это разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X = a+8b$ и $Y = \sqrt{9b^2} = 3b$. Применим формулу:
$((a+8b) - 3b)((a+8b) + 3b) = (a + 5b)(a + 11b)$
Ответ: $(a + 5b)(a + 11b)$.

в) Чтобы разложить на множители многочлен $x^2 + 4xy - 12y^2$, выделим в нём полный квадрат. Для выражения $x^2 + 4xy$ нужно добавить и отнять $(\frac{4y}{2})^2 = (2y)^2 = 4y^2$.
$x^2 + 4xy - 12y^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) - 4y^2 - 12y^2$
Запишем полный квадрат и упростим оставшуюся часть:
$(x+2y)^2 - 16y^2$
Получили разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X = x+2y$ и $Y = \sqrt{16y^2} = 4y$. Разложим по формуле:
$((x+2y) - 4y)((x+2y) + 4y) = (x - 2y)(x + 6y)$
Ответ: $(x - 2y)(x + 6y)$.

г) Рассмотрим выражение $x^2 + 16xy + 39y^2$. Разложим его на множители методом выделения полного квадрата. Для этого к $x^2 + 16xy$ добавим и вычтем $(\frac{16y}{2})^2 = (8y)^2 = 64y^2$.
$x^2 + 16xy + 39y^2 = (x^2 + 16xy + 64y^2) - 64y^2 + 39y^2$
Сворачиваем полный квадрат и приводим подобные слагаемые:
$(x+8y)^2 - 25y^2$
Это разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X = x+8y$ и $Y = \sqrt{25y^2} = 5y$. Применим соответствующую формулу:
$((x+8y) - 5y)((x+8y) + 5y) = (x + 3y)(x + 13y)$
Ответ: $(x + 3y)(x + 13y)$.