Номер 38.23, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

38.23 При каких значениях $p$ график линейной функции $y = p^2 - 2px$ проходит через заданную точку:

а) $(1; 3);$

б) $(-2; 5)?$

а)

Для того чтобы график функции $y = p^2 - 2px$ проходил через заданную точку, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Подставим координаты точки $(1; 3)$, то есть $x = 1$ и $y = 3$, в уравнение функции:

$3 = p^2 - 2p \cdot 1$

Мы получили квадратное уравнение относительно параметра $p$. Перенесем все его члены в одну сторону:

$p^2 - 2p - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$p_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$p_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Следовательно, график функции проходит через точку $(1; 3)$ при $p=3$ и $p=-1$.

Ответ: при $p = 3$ или $p = -1$.

б)

Аналогично поступим для точки $(-2; 5)$. Подставим ее координаты $x = -2$ и $y = 5$ в уравнение функции $y = p^2 - 2px$:

$5 = p^2 - 2p \cdot (-2)$

Упростим выражение:

$5 = p^2 + 4p$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$p^2 + 4p - 5 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Найдем корни уравнения:

$p_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$p_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, график функции проходит через точку $(-2; 5)$ при $p=1$ и $p=-5$.

Ответ: при $p = 1$ или $p = -5$.