Номер 34.13, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

34.13 Из данных одночленов выберите те, на которые делится многочлен $12x^2y^3z - 3xy^2z^2 + 4xy^2z^3$:

а) $x^2yz$; $3x^2y^2z$; $xy$; $xyz^4$; $x^3$;

б) $xy^2z$; $6xy^4z$; $5z$; $6xyz$; $20xy$;

в) $y^2$; $3$; $142xyz$; $15x$; $24z^2$;

г) $4xy^2$; $y^2z$; $8$; $7xyz$; $2xy^2z$.

Для того чтобы многочлен $12x^2y^3z - 3xy^2z^2 + 4xy^2z^3$ делился на некоторый одночлен, необходимо, чтобы каждый член данного многочлена делился на этот одночлен. При этом частное должно быть многочленом с целыми коэффициентами.

Пусть искомый одночлен-делитель имеет вид $M = c \cdot x^a y^b z^d$. Тогда должны выполняться следующие условия:

1. Коэффициент $c$ должен быть общим делителем всех коэффициентов многочлена: $12$, $-3$ и $4$. Наибольший общий делитель их модулей $НОД(12, 3, 4) = 1$. Следовательно, коэффициент $c$ может быть равен только $1$ или $-1$.
2. Степень каждой переменной в одночлене-делителе не должна превышать наименьшую степень этой же переменной среди всех членов многочлена.
   • Для переменной $x$: наименьшая степень в многочлене $\min(2, 1, 1) = 1$. Значит, $a \le 1$.
   • Для переменной $y$: наименьшая степень в многочлене $\min(3, 2, 2) = 2$. Значит, $b \le 2$.
   • Для переменной $z$: наименьшая степень в многочлене $\min(1, 2, 3) = 1$. Значит, $d \le 1$.

Таким образом, любой одночлен-делитель должен иметь вид $\pm x^a y^b z^d$, где $a \in \{0, 1\}$, $b \in \{0, 1, 2\}$, $d \in \{0, 1\}$. Проверим предложенные варианты.

а)

Проверяем одночлены $x^2yz; 3x^2y^2z; xy; xyz^4; x^3$:

• $x^2yz$: не является делителем, так как степень $x$ равна 2, что больше максимально возможной степени 1 ($a \le 1$).
• $3x^2y^2z$: не является делителем, так как коэффициент 3 не делит коэффициент 4.
• $xy$: является делителем. Коэффициент 1, степень $x$ равна 1 ($a=1 \le 1$), степень $y$ равна 1 ($b=1 \le 2$), степень $z$ равна 0 ($d=0 \le 1$).
• $xyz^4$: не является делителем, так как степень $z$ равна 4, что больше максимально возможной степени 1 ($d \le 1$).
• $x^3$: не является делителем, так как степень $x$ равна 3, что больше максимально возможной степени 1 ($a \le 1$).

Ответ: $xy$.

б)

Проверяем одночлены $xy^2z; 6xy^4z; 5z; 6xyz; 20xy$:

• $xy^2z$: является делителем. Коэффициент 1, степень $x$ равна 1 ($a=1 \le 1$), степень $y$ равна 2 ($b=2 \le 2$), степень $z$ равна 1 ($d=1 \le 1$).
• $6xy^4z$: не является делителем, так как коэффициент 6 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $5z$: не является делителем, так как коэффициент 5 не делит коэффициенты 12, -3, 4.
• $6xyz$: не является делителем, так как коэффициент 6 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $20xy$: не является делителем, так как коэффициент 20 не делит коэффициенты -3 и 4.

Ответ: $xy^2z$.

в)

Проверяем одночлены $y^2; 3; 142xyz; 15x; 24z^2$:

• $y^2$: является делителем. Коэффициент 1, степень $x$ равна 0 ($a=0 \le 1$), степень $y$ равна 2 ($b=2 \le 2$), степень $z$ равна 0 ($d=0 \le 1$).
• $3$: не является делителем, так как коэффициент 3 не делит коэффициент 4.
• $142xyz$: не является делителем, так как коэффициент 142 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $15x$: не является делителем, так как коэффициент 15 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $24z^2$: не является делителем, так как коэффициент 24 не делит коэффициенты -3 и 4, а также степень $z$ равна 2, что больше максимально возможной 1 ($d \le 1$).

Ответ: $y^2$.

г)

Проверяем одночлены $4xy^2; y^2z; 8; 7xyz; 2xy^2z$:

• $4xy^2$: не является делителем, так как коэффициент 4 не делит коэффициент -3.
• $y^2z$: является делителем. Коэффициент 1, степень $x$ равна 0 ($a=0 \le 1$), степень $y$ равна 2 ($b=2 \le 2$), степень $z$ равна 1 ($d=1 \le 1$).
• $8$: не является делителем, так как коэффициент 8 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $7xyz$: не является делителем, так как коэффициент 7 не делит коэффициенты 12, -3, 4.
• $2xy^2z$: не является делителем, так как коэффициент 2 не делит коэффициент -3.

Ответ: $y^2z$.