Номер 34.7, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

34.7 Придумайте три одночлена, на которые делится данный многочлен:

а) $5x^2 - 6x^4 + 48x^6 - 12x^3$;
б) $14x^6 - 28x + 7x^5 + 84x^4 - 56x^8$;
в) $15a^2b^3 + 25a^4b^2 - 30a^6b^3 - 75a^4b^7$;
г) $45m^6n^2 + 30m^3n^5 + 60m^4n^3 - 90m^4n^5$.

Чтобы найти одночлены, на которые делится данный многочлен, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) всех членов этого многочлена. Любой одночлен, который является делителем этого НОД, будет подходящим решением. Процесс нахождения НОД многочлена состоит из двух шагов: нахождение НОД коэффициентов и нахождение НОД переменных частей.

а) $5x^2 - 6x^4 + 48x^6 - 12x^3$

1. Нахождение НОД коэффициентов. Коэффициенты многочлена: 5, -6, 48, -12. Найдём НОД их абсолютных значений: НОД(5, 6, 12, 48). Так как 5 - простое число, а остальные на 5 не делятся, НОД(5, 6, 12, 48) = 1.
2. Нахождение НОД переменных. Переменная $x$ присутствует во всех членах многочлена. Минимальная степень, в которой она встречается, это $x^2$. Следовательно, общая переменная часть, которую можно вынести, это $x^2$.
3. Общий делитель. Наибольший общий делитель всех членов многочлена равен $1 \cdot x^2 = x^2$.
4. Выбор трёх одночленов. Мы можем выбрать любые три делителя одночлена $x^2$. Например, можно взять $x$, $x^2$. Так как НОД коэффициентов равен 1, мы можем также использовать одночлены с коэффициентом -1, например $-x^2$.
Ответ: $x$, $x^2$, $-x^2$.

б) $14x^6 - 28x + 7x^5 + 84x^4 - 56x^8$

1. Нахождение НОД коэффициентов. Коэффициенты: 14, -28, 7, 84, -56. Найдём НОД их абсолютных значений: НОД(7, 14, 28, 56, 84). Все числа делятся на 7, поэтому НОД(7, 14, 28, 56, 84) = 7.
2. Нахождение НОД переменных. Переменная $x$ есть в каждом члене. Минимальная степень $x$ — это 1 (в члене $-28x$). Значит, общая переменная часть — $x$.
3. Общий делитель. Наибольший общий делитель многочлена — $7x$.
4. Выбор трёх одночленов. Любой делитель $7x$ является решением. Например, числовой делитель 7, переменная $x$ и сам НОД $7x$.
Ответ: $7$, $x$, $7x$.

в) $15a^2b^3 + 25a^4b^2 - 30a^6b^3 - 75a^4b^7$

1. Нахождение НОД коэффициентов. Коэффициенты: 15, 25, -30, -75. Найдём НОД их абсолютных значений: НОД(15, 25, 30, 75). Все числа делятся на 5. НОД(15, 25, 30, 75) = 5.
2. Нахождение НОД переменных. - Для переменной $a$ минимальная степень равна 2 (в члене $15a^2b^3$). Общий множитель — $a^2$. - Для переменной $b$ минимальная степень равна 2 (в члене $25a^4b^2$). Общий множитель — $b^2$. Общая переменная часть — $a^2b^2$.
3. Общий делитель. Наибольший общий делитель многочлена — $5a^2b^2$.
4. Выбор трёх одночленов. Выберем три различных делителя одночлена $5a^2b^2$. Например, $5a$, $ab$ и $b^2$.
Ответ: $5a$, $ab$, $b^2$.

г) $45m^6n^2 + 30m^3n^5 + 60m^4n^3 - 90m^4n^5$

1. Нахождение НОД коэффициентов. Коэффициенты: 45, 30, 60, -90. Найдём НОД их абсолютных значений: НОД(30, 45, 60, 90). Все числа делятся на 15. НОД(30, 45, 60, 90) = 15.
2. Нахождение НОД переменных. - Для переменной $m$ минимальная степень равна 3 (в члене $30m^3n^5$). Общий множитель — $m^3$. - Для переменной $n$ минимальная степень равна 2 (в члене $45m^6n^2$). Общий множитель — $n^2$. Общая переменная часть — $m^3n^2$.
3. Общий делитель. Наибольший общий делитель многочлена — $15m^3n^2$.
4. Выбор трёх одночленов. Выберем три делителя одночлена $15m^3n^2$. Например, $3m$, $5n^2$ и $15mn$.
Ответ: $3m$, $5n^2$, $15mn$.