Номер 34.8, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

34.8 Установите, корректно ли задание: разделить многочлен $2x^3y^2 + 3x^2y - 5x^4y^4$ на одночлен А, если:

а) $A = xyz;$

б) $A = x^2y^2;$

в) $A = xy;$

г) $A = -x^2y.$

Для того чтобы задание «разделить многочлен на одночлен» было корректным, необходимо, чтобы каждый член многочлена делился на этот одночлен без остатка. Это означает, что для каждой переменной в одночлене-делителе ее степень должна быть не больше степени этой же переменной в каждом из членов многочлена-делимого. Также в одночлене-делителе не должно быть переменных, которых нет в членах многочлена.

Дан многочлен $2x^3y^2 + 3x^2y - 5x^4y^4$. Проверим корректность задания для каждого случая.

а) $A = xyz$

Рассмотрим делимость каждого члена многочлена на одночлен $A = xyz$. Уже первый член многочлена, $2x^3y^2$, не содержит переменной $z$, которая присутствует в делителе $A$. Следовательно, $2x^3y^2$ не делится на $xyz$ нацело (в результате деления получится выражение с переменной в знаменателе, а не одночлен). Поскольку хотя бы один член многочлена не делится на $A$, всё задание некорректно.

Ответ: некорректно.

б) $A = x^2y^2$

Рассмотрим делимость каждого члена многочлена на одночлен $A = x^2y^2$.
Первый член $2x^3y^2$ делится на $x^2y^2$, так как степени переменных $x$ и $y$ в делителе ($2$ и $2$) не превышают степеней в делимом ($3$ и $2$).
Второй член $3x^2y$ не делится на $x^2y^2$. Степень переменной $y$ в этом члене равна $1$, что меньше степени переменной $y$ в делителе, которая равна $2$.
Поскольку второй член многочлена не делится на $A$, задание некорректно.

Ответ: некорректно.

в) $A = xy$

Рассмотрим делимость каждого члена многочлена на одночлен $A = xy$.
1. Для члена $2x^3y^2$: степени $x$ и $y$ ($3$ и $2$) больше или равны степеням в $A$ ($1$ и $1$). Деление возможно.
2. Для члена $3x^2y$: степени $x$ и $y$ ($2$ и $1$) больше или равны степеням в $A$ ($1$ и $1$). Деление возможно.
3. Для члена $-5x^4y^4$: степени $x$ и $y$ ($4$ и $4$) больше или равны степеням в $A$ ($1$ и $1$). Деление возможно.
Так как все члены многочлена делятся на одночлен $A$, задание является корректным. Результатом деления будет многочлен: $(2x^3y^2 + 3x^2y - 5x^4y^4) : (xy) = 2x^2y + 3x - 5x^3y^3$.

Ответ: корректно.

г) $A = -x^2y$

Рассмотрим делимость каждого члена многочлена на одночлен $A = -x^2y$. Наличие числового коэффициента $-1$ не влияет на принципиальную возможность деления.
1. Для члена $2x^3y^2$: степени $x$ и $y$ ($3$ и $2$) больше или равны степеням в $A$ ($2$ и $1$). Деление возможно.
2. Для члена $3x^2y$: степени $x$ и $y$ ($2$ и $1$) равны степеням в $A$ ($2$ и $1$). Деление возможно.
3. Для члена $-5x^4y^4$: степени $x$ и $y$ ($4$ и $4$) больше или равны степеням в $A$ ($2$ и $1$). Деление возможно.
Так как все члены многочлена делятся на одночлен $A$, задание является корректным. Результатом деления будет многочлен: $(2x^3y^2 + 3x^2y - 5x^4y^4) : (-x^2y) = -2xy - 3 + 5x^2y^3$.

Ответ: корректно.