Номер 33.65, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.65 Докажите равенство:

$(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 0,2(3^{32} - 2^{32}).$

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Обозначим левую часть равенства как L:

L = $(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})$

Домножим и разделим левую часть на выражение $(3^2 - 2^2)$, чтобы можно было применить формулу разности квадратов. Значение выражения при этом не изменится.

$(3^2 - 2^2) = 9 - 4 = 5$

L = $\frac{(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{5}$

Теперь последовательно "сворачиваем" произведение в числителе:

1. $(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2) = (3^2)^2 - (2^2)^2 = 3^4 - 2^4$.

Выражение для L принимает вид:

L = $\frac{(3^4 - 2^4)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{5}$

2. $(3^4 - 2^4)(3^4 + 2^4) = (3^4)^2 - (2^4)^2 = 3^8 - 2^8$.

Теперь L выглядит так:

L = $\frac{(3^8 - 2^8)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{5}$

3. $(3^8 - 2^8)(3^8 + 2^8) = (3^8)^2 - (2^8)^2 = 3^{16} - 2^{16}$.

L = $\frac{(3^{16} - 2^{16})(3^{16} + 2^{16})}{5}$

4. $(3^{16} - 2^{16})(3^{16} + 2^{16}) = (3^{16})^2 - (2^{16})^2 = 3^{32} - 2^{32}$.

В результате преобразования левой части мы получили:

L = $\frac{3^{32} - 2^{32}}{5}$

Теперь преобразуем правую часть равенства. Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Тогда правая часть равна:

$0,2(3^{32} - 2^{32}) = \frac{1}{5}(3^{32} - 2^{32})$

Мы видим, что преобразованная левая часть равна правой части: $\frac{1}{5}(3^{32} - 2^{32}) = \frac{1}{5}(3^{32} - 2^{32})$.

Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.