Номер 33.64, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.64 Найдите значение числового выражения:

a) $(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) - 2^{16};$

б) $3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Будем последовательно применять ее к выражению $(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) - 2^{16}$.
Сначала сгруппируем первые два множителя: $(2-1)(2+1) = 2^2-1^2 = 2^2-1$.
Выражение примет вид: $(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) - 2^{16}$.
Снова применяем формулу к первым двум множителям: $(2^2-1)(2^2+1) = (2^2)^2-1^2 = 2^4-1$.
Затем к следующей паре: $(2^4-1)(2^4+1) = (2^4)^2-1^2 = 2^8-1$.
И наконец: $(2^8-1)(2^8+1) = (2^8)^2-1^2 = 2^{16}-1$.
Таким образом, произведение $(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)$ равно $2^{16}-1$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$(2^{16}-1) - 2^{16} = 2^{16} - 1 - 2^{16} = -1$.
Ответ: -1

б) В этом примере также используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Исходное выражение: $3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$.
Заметим, что множитель $3$ можно представить в виде $2^2-1$.
Тогда выражение превращается в $(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) - 2^{32}$.
Теперь последовательно применяем формулу разности квадратов:
$(2^2-1)(2^2+1) = (2^2)^2-1^2 = 2^4-1$.
Далее: $(2^4-1)(2^4+1) = (2^4)^2-1^2 = 2^8-1$.
Затем: $(2^8-1)(2^8+1) = (2^8)^2-1^2 = 2^{16}-1$.
И наконец: $(2^{16}-1)(2^{16}+1) = (2^{16})^2-1^2 = 2^{32}-1$.
В итоге, первая часть исходного выражения $3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$ равна $2^{32}-1$.
Подставляем это значение:
$(2^{32}-1) - 2^{32} = 2^{32} - 1 - 2^{32} = -1$.
Ответ: -1