Номер 33.57, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Параграф 33. Формулы сокращённого умножения - номер 33.57, страница 150.

Условие.

33.57 а) $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$;

б) $x^{32} - (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для решения этого примера мы будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

1. Начнем с первых двух множителей: $(a - b)(a + b)$. Применяя формулу, получаем:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

2. Теперь подставим этот результат обратно в исходное выражение:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

3. Снова применяем формулу разности квадратов для первых двух множителей $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$, где $x = a^2$ и $y = b^2$:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

4. Подставляем результат в выражение:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

5. Повторяем процедуру для $(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$

6. Выражение принимает вид:

$(a^8 - b^8)(a^8 + b^8)$

7. В последний раз применяем формулу разности квадратов:

$(a^8 - b^8)(a^8 + b^8) = (a^8)^2 - (b^8)^2 = a^{16} - b^{16}$

Ответ: $a^{16} - b^{16}$

б)

Сначала упростим произведение, стоящее в скобках. Мы будем использовать тот же метод, что и в пункте а) — последовательное применение формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

1. Раскроем произведение $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$ по шагам:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

2. Подставим результат:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

3. Снова применяем формулу:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

4. Получаем:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

5. Далее:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$

6. Получаем:

$(x^8 - 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

7. Далее:

$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$

8. Получаем:

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1)$

9. И последний шаг:

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1) = (x^{16})^2 - 1^2 = x^{32} - 1$

10. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$x^{32} - (x^{32} - 1)$

11. Раскроем скобки и выполним вычитание:

$x^{32} - x^{32} + 1 = 1$

Ответ: $1$