Номер 33.62, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.62 a) $(* - 10z^2)(* + *) = 0.49x^6 - *;$

б) $(* + *)(7p^6 - *) = * - \frac{16}{121} q^4;$

в) $(1\frac{3}{4} x^7 - *)(* + *) = * - 64y^4z^{10};$

г) $(* - *)^2 = * - 60a^4x^2 + *.$

а) Данное равенство $(*-10z^2)(*+*) = 0,49x^6 - *$ представляет собой формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Из первой скобки $(*-10z^2)$ можно предположить, что $b = 10z^2$. Тогда вторая скобка должна иметь вид $(a+b)$, то есть $(*+10z^2)$.

Правая часть равенства $0,49x^6 - *$ соответствует $a^2 - b^2$.

Мы знаем, что $a^2 = 0,49x^6$. Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень: $a = \sqrt{0,49x^6} = 0,7x^3$.

Теперь найдем $b^2$: $b^2 = (10z^2)^2 = 100z^4$.

Подставим найденные значения вместо звёздочек:

Первая звёздочка в первой скобке: $a = 0,7x^3$.

Первая звёздочка во второй скобке: $a = 0,7x^3$.

Вторая звёздочка во второй скобке: $b = 10z^2$.

Звёздочка в правой части: $b^2 = 100z^4$.

Получаем тождество: $(0,7x^3 - 10z^2)(0,7x^3 + 10z^2) = (0,7x^3)^2 - (10z^2)^2 = 0,49x^6 - 100z^4$.

Ответ: $(0,7x^3 - 10z^2)(0,7x^3 + 10z^2) = 0,49x^6 - 100z^4$.

б) Равенство $(*+*)(7p^6-*) = *-\frac{16}{121}q^4$ также основано на формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Из второй скобки $(7p^6-*)$ и правой части $*-\frac{16}{121}q^4$ можно сделать выводы:

$a = 7p^6$ и $b^2 = \frac{16}{121}q^4$.

Найдем $a^2$: $a^2 = (7p^6)^2 = 49p^{12}$. Это первая звёздочка в правой части равенства.

Найдем $b$, извлекая квадратный корень из $b^2$: $b = \sqrt{\frac{16}{121}q^4} = \frac{4}{11}q^2$.

Теперь заполним пропуски в скобках. Первая скобка $(*+*)$ соответствует $(a+b)$, а вторая $(7p^6-*)$ соответствует $(a-b)$.

Звёздочки в первой скобке: $a = 7p^6$ и $b = \frac{4}{11}q^2$.

Звёздочка во второй скобке: $b = \frac{4}{11}q^2$.

Получаем тождество: $(7p^6 + \frac{4}{11}q^2)(7p^6 - \frac{4}{11}q^2) = (7p^6)^2 - (\frac{4}{11}q^2)^2 = 49p^{12} - \frac{16}{121}q^4$.

Ответ: $(7p^6 + \frac{4}{11}q^2)(7p^6 - \frac{4}{11}q^2) = 49p^{12} - \frac{16}{121}q^4$.

в) Равенство $(1\frac{3}{4}x^7 - *)(*+*) = * - 64y^4z^{10}$ снова является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Из первой скобки $(1\frac{3}{4}x^7 - *)$ следует, что $a = 1\frac{3}{4}x^7$. Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$. Таким образом, $a = \frac{7}{4}x^7$.

Из правой части $* - 64y^4z^{10}$ следует, что $b^2 = 64y^4z^{10}$.

Найдем $b$: $b = \sqrt{64y^4z^{10}} = 8y^2z^5$.

Найдем $a^2$: $a^2 = (\frac{7}{4}x^7)^2 = \frac{49}{16}x^{14}$.

Подставляем найденные значения:

Звёздочка в первой скобке: $b = 8y^2z^5$.

Звёздочки во второй скобке: $a = 1\frac{3}{4}x^7$ и $b = 8y^2z^5$.

Звёздочка в правой части: $a^2 = \frac{49}{16}x^{14}$.

Получаем тождество: $(1\frac{3}{4}x^7 - 8y^2z^5)(1\frac{3}{4}x^7 + 8y^2z^5) = (\frac{7}{4}x^7)^2 - (8y^2z^5)^2 = \frac{49}{16}x^{14} - 64y^4z^{10}$.

Ответ: $(1\frac{3}{4}x^7 - 8y^2z^5)(1\frac{3}{4}x^7 + 8y^2z^5) = \frac{49}{16}x^{14} - 64y^4z^{10}$.

г) Равенство $(*-*)^2 = * - 60a^4x^2 + *$ является формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Средний член в правой части равенства соответствует удвоенному произведению $-2AB$.

$-2AB = -60a^4x^2$, откуда получаем $AB = 30a^4x^2$.

Нам нужно найти два одночлена $A$ и $B$, произведение которых равно $30a^4x^2$. Эта задача имеет несколько решений. Выберем одно из наиболее вероятных, где итоговый многочлен является однородным (степени всех его членов равны).

Пусть $A = 5a^3$ и $B = 6ax^2$. Проверим произведение:

$AB = (5a^3)(6ax^2) = 30a^4x^2$. Условие выполняется.

Теперь найдем $A^2$ и $B^2$, которые будут стоять на месте первой и последней звёздочек в правой части.

$A^2 = (5a^3)^2 = 25a^6$.

$B^2 = (6ax^2)^2 = 36a^2x^4$.

Подставим значения в исходное равенство:

Звёздочки в скобках: $A = 5a^3$ и $B = 6ax^2$.

Первая звёздочка в правой части: $A^2 = 25a^6$.

Последняя звёздочка в правой части: $B^2 = 36a^2x^4$.

Проверка: $(5a^3 - 6ax^2)^2 = (5a^3)^2 - 2(5a^3)(6ax^2) + (6ax^2)^2 = 25a^6 - 60a^4x^2 + 36a^2x^4$.

Ответ: $(5a^3 - 6ax^2)^2 = 25a^6 - 60a^4x^2 + 36a^2x^4$.