Номер 34.16, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

34.16 Выясните, какой из данных многочленов может быть частным от деления многочлена $30a^4b^3 - 12a^2b^4$ на некоторый одночлен. Найдите делитель, если он существует:

а) $3a^3 - 1,2ab$; $30a^4b - 12ab^2$;

б) $5b^3 - 2b^4$; $15a^2b - 4b$;

в) $30a^3b^2 - 12ab$; $6a^3b^2 - 3ab^3$;

г) $15a^4b^3 - 6a^2b^4$; $3a^2 - 1,2b$.

Чтобы определить, какой из предложенных многочленов может быть частным от деления многочлена $30a^4b^3 - 12a^2b^4$ на некоторый одночлен, мы должны проверить, существует ли такой одночлен-делитель $D$. Если многочлен $Q = Q_1 - Q_2$ является частным от деления многочлена $P = P_1 - P_2$ на одночлен $D$, то должно выполняться равенство $P = D \cdot Q$, или $P_1 = D \cdot Q_1$ и $P_2 = D \cdot Q_2$. Отсюда следует, что $D = \frac{P_1}{Q_1}$ и $D = \frac{P_2}{Q_2}$. Таким образом, для каждого предложенного многочлена $Q$ мы должны проверить, выполняется ли условие $\frac{P_1}{Q_1} = \frac{P_2}{Q_2}$, и является ли результат этого деления одночленом.

В нашей задаче делимое $P = 30a^4b^3 - 12a^2b^4$, где $P_1 = 30a^4b^3$ и $P_2 = 12a^2b^4$.

а) $3a^3 - 1,2ab$; $30a^4b - 12ab^2$

1. Проверим многочлен $Q = 3a^3 - 1,2ab$.
Найдем возможный делитель $D$, разделив соответствующие члены делимого и предполагаемого частного:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{3a^3} = 10ab^3$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{1,2ab} = 10ab^3$
Поскольку $D_1 = D_2$ и результат $10ab^3$ является одночленом, этот многочлен может быть частным.

2. Проверим многочлен $Q = 30a^4b - 12ab^2$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{30a^4b} = b^2$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{12ab^2} = ab^2$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

Ответ: многочлен $3a^3 - 1,2ab$ может быть частным, делитель равен $10ab^3$.

б) $5b^3 - 2b^4$; $15a^2b - 4b$

1. Проверим многочлен $Q = 5b^3 - 2b^4$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{5b^3} = 6a^4$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{2b^4} = 6a^2$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

2. Проверим многочлен $Q = 15a^2b - 4b$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{15a^2b} = 2a^2b^2$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{4b} = 3a^2b^3$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

Ответ: ни один из данных многочленов не может быть частным.

в) $30a^3b^2 - 12ab$; $6a^3b^2 - 3ab^3$

1. Проверим многочлен $Q = 30a^3b^2 - 12ab$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{30a^3b^2} = ab$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{12ab} = ab^3$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

2. Проверим многочлен $Q = 6a^3b^2 - 3ab^3$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{6a^3b^2} = 5ab$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{3ab^3} = 4ab$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

Ответ: ни один из данных многочленов не может быть частным.

г) $15a^4b^3 - 6a^2b^4$; $3a^2 - 1,2b$

1. Проверим многочлен $Q = 15a^4b^3 - 6a^2b^4$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{15a^4b^3} = 2$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{6a^2b^4} = 2$
Поскольку $D_1 = D_2$ и результат $2$ является одночленом, этот многочлен может быть частным.

2. Проверим многочлен $Q = 3a^2 - 1,2b$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{3a^2} = 10a^2b^3$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{1,2b} = 10a^2b^3$
Поскольку $D_1 = D_2$ и результат $10a^2b^3$ является одночленом, этот многочлен также может быть частным.

Ответ: многочлен $15a^4b^3 - 6a^2b^4$ может быть частным, делитель равен $2$; многочлен $3a^2 - 1,2b$ может быть частным, делитель равен $10a^2b^3$.