Страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения двучлена на двучлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Проиллюстрируем это правило на придуманном примере умножения двучлена (многочлена из двух членов) на двучлен. Возьмем для примера двучлены $(x + 5)$ и $(2x - 3)$.

Для того чтобы перемножить эти двучлены, нужно последовательно умножить каждый член первого двучлена на каждый член второго, а затем сложить полученные результаты.
$(x + 5)(2x - 3) = x \cdot 2x + x \cdot (-3) + 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-3)$
Теперь выполним умножение в каждом слагаемом (одночлене):
$= 2x^2 - 3x + 10x - 15$
И, наконец, приведем подобные слагаемые (в данном случае это $-3x$ и $10x$):
$= 2x^2 + 7x - 15$

Таким образом, произведение двух двучленов представляет собой многочлен.

Ответ: $2x^2 + 7x - 15$

2. Всегда ли задание найти произведение двух многочленов является корректным?

Да, задание найти произведение двух многочленов является корректным всегда. Это следует из самого определения многочлена и операции умножения в алгебре.

Многочлен (или полином) от одной переменной $x$ — это выражение вида $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициенты $a_i$ являются числами (например, действительными или комплексными), а $n$ — целое неотрицательное число. Ключевым свойством является то, что все степени переменной $x$ — это целые неотрицательные числа ($0, 1, 2, \dots$).

Рассмотрим два произвольных многочлена:

$P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$

$Q(x) = \sum_{j=0}^{m} b_j x^j$

Их произведение $R(x) = P(x) \cdot Q(x)$ находится путем применения дистрибутивного закона (правила "каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена"):

$R(x) = \left( \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m} b_j x^j \right) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} (a_i x^i)(b_j x^j)$

Упрощая произведение отдельных членов, получаем:

$(a_i x^i)(b_j x^j) = (a_i b_j) x^{i+j}$

Поскольку $i$ и $j$ являются целыми неотрицательными числами по определению многочлена, их сумма $k = i+j$ также будет целым неотрицательным числом. Коэффициенты $a_i b_j$ будут числами того же типа, что и исходные коэффициенты.

Таким образом, произведение $R(x)$ представляет собой сумму слагаемых вида $c_k x^k$, где $k$ — целое неотрицательное число. После приведения подобных слагаемых (то есть сложения коэффициентов при одинаковых степенях $x$) итоговое выражение снова будет иметь форму многочлена.

Это свойство называется замкнутостью множества многочленов относительно операции умножения. Это означает, что результатом умножения любых двух многочленов всегда является многочлен. Следовательно, операция определена для любой пары многочленов и всегда приводит к результату того же типа.

Например, найдем произведение многочленов $P(x) = 3x^2 - x$ и $Q(x) = 2x + 4$:

$P(x) \cdot Q(x) = (3x^2 - x)(2x + 4) = 3x^2 \cdot (2x) + 3x^2 \cdot 4 - x \cdot (2x) - x \cdot 4 = 6x^3 + 12x^2 - 2x^2 - 4x = 6x^3 + 10x^2 - 4x$

Результат $6x^3 + 10x^2 - 4x$ также является многочленом.

Таким образом, поскольку операция умножения для многочленов всегда определена и ее результат также является многочленом, задание на нахождение произведения двух многочленов является полностью корректным с математической точки зрения.

Ответ: Да, задание найти произведение двух многочленов является корректным всегда, так как множество многочленов замкнуто относительно операции умножения, то есть произведение любых двух многочленов всегда является многочленом.

33.16 а) $42^2$;

б) $62^2$;

в) $82^2$;

г) $32^2$.

а)

Для вычисления квадрата числа 42 представим его в виде суммы двух слагаемых, например, $40$ и $2$. Затем воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=40$, а $b=2$.

$42^2 = (40 + 2)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 2 + 2^2 = 1600 + 160 + 4 = 1764$.

Ответ: 1764.

б)

Аналогично, представим число 62 в виде суммы $60 + 2$ и применим ту же формулу.

В этом случае $a=60$, а $b=2$.

$62^2 = (60 + 2)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 2 + 2^2 = 3600 + 240 + 4 = 3844$.

Ответ: 3844.

в)

Представим число 82 в виде суммы $80 + 2$ и возведем в квадрат, используя формулу квадрата суммы.

Здесь $a=80$, а $b=2$.

$82^2 = (80 + 2)^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 2 + 2^2 = 6400 + 320 + 4 = 6724$.

Ответ: 6724.

г)

Представим число 32 в виде суммы $30 + 2$ и вычислим его квадрат.

Здесь $a=30$, а $b=2$.

$32^2 = (30 + 2)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 2 + 2^2 = 900 + 120 + 4 = 1024$.

Ответ: 1024.

33.17 a) $98^2$;

б) $28^2$;

в) $88^2$;

г) $58^2$.

а) Для того чтобы вычислить $98^2$, представим число 98 в виде разности двух удобных для счета чисел, например, $100$ и $2$. Таким образом, $98 = 100 - 2$. Далее воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 100$ и $b = 2$.

Подставляем значения в формулу: $98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9600 + 4 = 9604$.

Ответ: 9604.

б) Чтобы вычислить $28^2$, представим число 28 в виде разности, например, $28 = 30 - 2$. Применим ту же формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 30$ и $b = 2$.

Выполним вычисления: $28^2 = (30 - 2)^2 = 30^2 - 2 \cdot 30 \cdot 2 + 2^2 = 900 - 120 + 4 = 780 + 4 = 784$.

Ответ: 784.

в) Для вычисления $88^2$, представим число 88 как разность $(90 - 2)$. Используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 90$ и $b = 2$.

Проведем расчеты: $88^2 = (90 - 2)^2 = 90^2 - 2 \cdot 90 \cdot 2 + 2^2 = 8100 - 360 + 4 = 7740 + 4 = 7744$.

Ответ: 7744.

г) Для вычисления $58^2$, представим число 58 как разность $(60 - 2)$. Снова воспользуемся формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 60$ и $b = 2$.

Вычисляем: $58^2 = (60 - 2)^2 = 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 2 + 2^2 = 3600 - 240 + 4 = 3360 + 4 = 3364$.

Ответ: 3364.

33.18 a) $\left(12\frac{1}{12}\right)^2$;

б) $\left(-7\frac{2}{7}\right)^2$;

в) $\left(7\frac{3}{14}\right)^2$;

г) $\left(-13\frac{3}{13}\right)^2$.

а) Чтобы возвести смешанное число в квадрат, представим его как сумму целой и дробной частей и воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(12\frac{1}{12})^2 = (12 + \frac{1}{12})^2 = 12^2 + 2 \cdot 12 \cdot \frac{1}{12} + (\frac{1}{12})^2$.
Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
$12^2 = 144$
$2 \cdot 12 \cdot \frac{1}{12} = 2$
$(\frac{1}{12})^2 = \frac{1^2}{12^2} = \frac{1}{144}$
Теперь сложим полученные результаты:
$144 + 2 + \frac{1}{144} = 146 + \frac{1}{144} = 146\frac{1}{144}$.
Ответ: $146\frac{1}{144}$

б) Квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего ему положительного числа, то есть $(-x)^2 = x^2$. Затем применим формулу квадрата суммы.
$(-7\frac{2}{7})^2 = (7\frac{2}{7})^2 = (7 + \frac{2}{7})^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot \frac{2}{7} + (\frac{2}{7})^2$.
Вычислим каждое слагаемое:
$7^2 = 49$
$2 \cdot 7 \cdot \frac{2}{7} = 4$
$(\frac{2}{7})^2 = \frac{2^2}{7^2} = \frac{4}{49}$
Сложим полученные значения:
$49 + 4 + \frac{4}{49} = 53 + \frac{4}{49} = 53\frac{4}{49}$.
Ответ: $53\frac{4}{49}$

в) Используем формулу квадрата суммы, представив смешанное число в виде суммы целой и дробной частей.
$(7\frac{3}{14})^2 = (7 + \frac{3}{14})^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot \frac{3}{14} + (\frac{3}{14})^2$.
Вычислим каждое слагаемое:
$7^2 = 49$
$2 \cdot 7 \cdot \frac{3}{14} = 14 \cdot \frac{3}{14} = 3$
$(\frac{3}{14})^2 = \frac{3^2}{14^2} = \frac{9}{196}$
Сложим полученные значения:
$49 + 3 + \frac{9}{196} = 52 + \frac{9}{196} = 52\frac{9}{196}$.
Ответ: $52\frac{9}{196}$

г) Сначала избавимся от знака минус, так как квадрат отрицательного числа положителен. Затем воспользуемся формулой квадрата суммы.
$(-13\frac{3}{13})^2 = (13\frac{3}{13})^2 = (13 + \frac{3}{13})^2 = 13^2 + 2 \cdot 13 \cdot \frac{3}{13} + (\frac{3}{13})^2$.
Вычислим каждое слагаемое:
$13^2 = 169$
$2 \cdot 13 \cdot \frac{3}{13} = 6$
$(\frac{3}{13})^2 = \frac{3^2}{13^2} = \frac{9}{169}$
Сложим полученные значения:
$169 + 6 + \frac{9}{169} = 175 + \frac{9}{169} = 175\frac{9}{169}$.
Ответ: $175\frac{9}{169}$

33.19 а) $ \left(12\frac{12}{13}\right)^2 $;

б) $ \left(14\frac{13}{15}\right)^2 $;

в) $ \left(39\frac{39}{40}\right)^2 $;

г) $ \left(15\frac{13}{16}\right)^2 $.

а) Для вычисления $(12\frac{12}{13})^2$, представим смешанное число в виде разности: $12\frac{12}{13} = 13 - \frac{1}{13}$. Теперь, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем: $(13 - \frac{1}{13})^2 = 13^2 - 2 \cdot 13 \cdot \frac{1}{13} + (\frac{1}{13})^2 = 169 - 2 + \frac{1}{169} = 167 + \frac{1}{169} = 167\frac{1}{169}$. Ответ: $167\frac{1}{169}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, представим $14\frac{13}{15}$ как $15 - \frac{2}{15}$. Применяя формулу квадрата разности, имеем: $(15 - \frac{2}{15})^2 = 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot \frac{2}{15} + (\frac{2}{15})^2 = 225 - 4 + \frac{4}{225} = 221 + \frac{4}{225} = 221\frac{4}{225}$. Ответ: $221\frac{4}{225}$.

в) Представим $39\frac{39}{40}$ в виде разности $40 - \frac{1}{40}$. Возводим в квадрат, используя ту же формулу: $(40 - \frac{1}{40})^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot \frac{1}{40} + (\frac{1}{40})^2 = 1600 - 2 + \frac{1}{1600} = 1598 + \frac{1}{1600} = 1598\frac{1}{1600}$. Ответ: $1598\frac{1}{1600}$.

г) Представим $15\frac{13}{16}$ в виде разности $16 - \frac{3}{16}$. Возводим в квадрат: $(16 - \frac{3}{16})^2 = 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot \frac{3}{16} + (\frac{3}{16})^2 = 256 - 6 + \frac{9}{256} = 250 + \frac{9}{256} = 250\frac{9}{256}$. Ответ: $250\frac{9}{256}$.

Выполните действия, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:

33.20 а) $(a - b)(a + b);$

б) $(c - d)(c + d);$

в) $(m - n)(m + n);$

г) $(p - q)(p + q).

Для выполнения данных действий необходимо применить формулу сокращённого умножения "разность квадратов", которая имеет следующий вид: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

а)

В данном выражении $(a - b)(a + b)$ мы имеем произведение разности двух чисел $a$ и $b$ на их сумму. Согласно формуле разности квадратов, где в роли $x$ выступает $a$, а в роли $y$ выступает $b$, получаем:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Ответ: $a^2 - b^2$.

б)

Выражение $(c - d)(c + d)$ аналогично предыдущему. Здесь переменные - это $c$ и $d$. Применяем ту же формулу разности квадратов:

$(c - d)(c + d) = c^2 - d^2$

Ответ: $c^2 - d^2$.

в)

Для выражения $(m - n)(m + n)$ применяем формулу разности квадратов, подставляя $m$ вместо $x$ и $n$ вместо $y$:

$(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$

Ответ: $m^2 - n^2$.

г)

В выражении $(p - q)(p + q)$ используем ту же формулу, где $x=p$ и $y=q$. В результате получаем разность квадратов этих переменных:

$(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$

Ответ: $p^2 - q^2$.

33.21 а) $(x - 1)(x + 1);$

б) $(9 - a)(9 + a);$

в) $(c - 2)(c + 2);$

г) $(12 - t)(12 + t).$

а)

Для решения данного примера необходимо применить формулу сокращенного умножения, а именно "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В выражении $(x - 1)(x + 1)$ переменная $a$ соответствует $x$, а переменная $b$ соответствует $1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Ответ: $x^2 - 1$.

б)

Используем ту же формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае, $a = 9$ и $b = a$.

Применяя формулу, получаем:

$(9 - a)(9 + a) = 9^2 - a^2 = 81 - a^2$.

Ответ: $81 - a^2$.

в)

Снова применяем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В этом выражении $a = c$ и $b = 2$.

Выполним преобразование по формуле:

$(c - 2)(c + 2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4$.

Ответ: $c^2 - 4$.

г)

Для последнего примера также используется формула разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = 12$ и $b = t$.

Подставим значения и произведем вычисления:

$(12 - t)(12 + t) = 12^2 - t^2 = 144 - t^2$.

Ответ: $144 - t^2$.

33.22 a) $(3b - 1)(3b + 1)$;

б) $(6x - 2)(6x + 2)$;

В) $(10m - 4)(10m + 4)$;

Г) $(8a - 1)(8a + 1)$.

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

В данном выражении $x = 3b$ и $y = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(3b - 1)(3b + 1) = (3b)^2 - 1^2 = 9b^2 - 1$.

Ответ: $9b^2 - 1$.

б) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = 6x$ и $y = 2$.

Применяем формулу:

$(6x - 2)(6x + 2) = (6x)^2 - 2^2 = 36x^2 - 4$.

Ответ: $36x^2 - 4$.

в) Снова используем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

В этом выражении $x = 10m$ и $y = 4$.

Выполняем преобразование по формуле:

$(10m - 4)(10m + 4) = (10m)^2 - 4^2 = 100m^2 - 16$.

Ответ: $100m^2 - 16$.

г) Для последнего примера вновь применим формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x = 8a$ и $y = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$(8a - 1)(8a + 1) = (8a)^2 - 1^2 = 64a^2 - 1$.

Ответ: $64a^2 - 1$.

33.23 а) $(4a - b)(b + 4a);$

б) $(x + 7)(7 - x);$

в) $(4b + 1)(1 - 4b);$

г) $(5m + 2)(2 - 5m).$

а) Чтобы упростить выражение $(4a - b)(b + 4a)$, необходимо распознать в нем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Для наглядности поменяем слагаемые во второй скобке местами, используя переместительное свойство сложения: $(b + 4a) = (4a + b)$.
Теперь выражение выглядит так: $(4a - b)(4a + b)$.
В данном случае $x = 4a$ и $y = b$. Применим формулу разности квадратов:
$(4a)^2 - b^2 = 16a^2 - b^2$.
Ответ: $16a^2 - b^2$.

б) Упростим выражение $(x + 7)(7 - x)$, используя формулу разности квадратов.
Перепишем первую скобку, поменяв слагаемые местами: $(x + 7) = (7 + x)$.
Получаем выражение: $(7 + x)(7 - x)$.
Это соответствует формуле $(y + x)(y - x) = y^2 - x^2$, где $y = 7$, а $x$ остается $x$.
Применяем формулу:
$7^2 - x^2 = 49 - x^2$.
Ответ: $49 - x^2$.

в) Рассмотрим выражение $(4b + 1)(1 - 4b)$.
Как и в предыдущих случаях, используем формулу разности квадратов.
Для удобства применения формулы, поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(4b + 1) = (1 + 4b)$.
Выражение принимает вид: $(1 + 4b)(1 - 4b)$.
Здесь мы видим произведение суммы и разности двух выражений, где первое выражение равно $1$, а второе — $4b$.
Применяем формулу $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$:
$1^2 - (4b)^2 = 1 - 16b^2$.
Ответ: $1 - 16b^2$.

г) Упростим выражение $(5m + 2)(2 - 5m)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов.
Переставим слагаемые в первой скобке: $(5m + 2) = (2 + 5m)$.
Теперь выражение имеет вид: $(2 + 5m)(2 - 5m)$.
Это произведение суммы и разности, где $x = 2$ и $y = 5m$.
Применяем формулу $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$:
$2^2 - (5m)^2 = 4 - 25m^2$.
Ответ: $4 - 25m^2$.

33.24 а) $(3x - 5y)(3x + 5y)$;

б) $(7a - 8b)(7a + 8b)$;

в) $(13c - 11d)(13c + 11d)$;

г) $(8m - 9n)(8m + 9n)$.

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$. В данном выражении $A = 3x$ и $B = 5y$.
Подставим эти значения в формулу: $(3x - 5y)(3x + 5y) = (3x)^2 - (5y)^2$.
Теперь возведем каждый член в квадрат: $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$.
$(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$.
Таким образом, получаем итоговый результат: $9x^2 - 25y^2$.
Ответ: $9x^2 - 25y^2$.

б) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$. Здесь $A = 7a$ и $B = 8b$.
Применим формулу к нашему выражению: $(7a - 8b)(7a + 8b) = (7a)^2 - (8b)^2$.
Возводим в квадрат каждый член: $(7a)^2 = 7^2 \cdot a^2 = 49a^2$.
$(8b)^2 = 8^2 \cdot b^2 = 64b^2$.
В результате получаем: $49a^2 - 64b^2$.
Ответ: $49a^2 - 64b^2$.

в) Используем ту же формулу разности квадратов: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$. В этом выражении $A = 13c$ и $B = 11d$.
Подставляем в формулу: $(13c - 11d)(13c + 11d) = (13c)^2 - (11d)^2$.
Выполняем возведение в степень: $(13c)^2 = 13^2 \cdot c^2 = 169c^2$.
$(11d)^2 = 11^2 \cdot d^2 = 121d^2$.
Итоговое выражение: $169c^2 - 121d^2$.
Ответ: $169c^2 - 121d^2$.

г) Снова применяем формулу разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$. В данном случае $A = 8m$ и $B = 9n$.
Применение формулы дает: $(8m - 9n)(8m + 9n) = (8m)^2 - (9n)^2$.
Возводим в квадрат каждый одночлен: $(8m)^2 = 8^2 \cdot m^2 = 64m^2$.
$(9n)^2 = 9^2 \cdot n^2 = 81n^2$.
Конечный результат: $64m^2 - 81n^2$.
Ответ: $64m^2 - 81n^2$.

33.25 a) $(5x - 2y^2)(5x + 2y^2)$;

б) $(2c - 3a^2)(3a^2 + 2c)$;

В) $(10p^3 - 7q)(10p^3 + 7q)$;

Г) $(8d + 6c^3)(6c^3 - 8d)$.

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, известной как разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В данном выражении $(5x - 2y^2)(5x + 2y^2)$ мы имеем $a = 5x$ и $b = 2y^2$.
Подставим эти значения в формулу:
$(5x)^2 - (2y^2)^2 = 5^2 \cdot x^2 - 2^2 \cdot (y^2)^2 = 25x^2 - 4y^4$.
Ответ: $25x^2 - 4y^4$.

б) Чтобы применить формулу разности квадратов, преобразуем выражение. Во второй скобке поменяем слагаемые местами, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $(3a^2 + 2c) = (2c + 3a^2)$.
Теперь выражение имеет вид: $(2c - 3a^2)(2c + 3a^2)$.
Это соответствует формуле $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 2c$ и $b = 3a^2$.
Применяем формулу:
$(2c)^2 - (3a^2)^2 = 2^2 \cdot c^2 - 3^2 \cdot (a^2)^2 = 4c^2 - 9a^4$.
Ответ: $4c^2 - 9a^4$.

в) Данное выражение $(10p^3 - 7q)(10p^3 + 7q)$ также является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 10p^3$ и $b = 7q$.
Выполним преобразование:
$(10p^3)^2 - (7q)^2 = 10^2 \cdot (p^3)^2 - 7^2 \cdot q^2 = 100p^{3 \cdot 2} - 49q^2 = 100p^6 - 49q^2$.
Ответ: $100p^6 - 49q^2$.

г) В этом примере $(8d + 6c^3)(6c^3 - 8d)$ необходимо привести множители к стандартному виду $(a+b)(a-b)$.
Поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(8d + 6c^3) = (6c^3 + 8d)$.
Получим выражение: $(6c^3 + 8d)(6c^3 - 8d)$.
Теперь оно соответствует формуле разности квадратов, где $a = 6c^3$ и $b = 8d$.
Подставим в формулу $a^2 - b^2$:
$(6c^3)^2 - (8d)^2 = 6^2 \cdot (c^3)^2 - 8^2 \cdot d^2 = 36c^{3 \cdot 2} - 64d^2 = 36c^6 - 64d^2$.
Ответ: $36c^6 - 64d^2$.

33.26 а) $(4x^2 - 2y^2)(4x^2 + 2y^2)$;
б) $(10a^3 + 5b^2)(10a^3 - 5b^2)$;
в) $(3n^4 - m^4)(3n^4 + m^4)$;
г) $(10m^8 + 8n^8)(10m^8 - 8n^8)$.

а)

Для решения этого примера используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

В выражении $(4x^2 - 2y^2)(4x^2 + 2y^2)$ в качестве $A$ выступает $4x^2$, а в качестве $B$ — $2y^2$.

Применяя формулу, получаем:
$(4x^2 - 2y^2)(4x^2 + 2y^2) = (4x^2)^2 - (2y^2)^2$.

Теперь возведем каждый одночлен в квадрат:
$(4x^2)^2 = 4^2 \cdot (x^2)^2 = 16x^4$.
$(2y^2)^2 = 2^2 \cdot (y^2)^2 = 4y^4$.

Таким образом, итоговый результат: $16x^4 - 4y^4$.

Ответ: $16x^4 - 4y^4$.

б)

Данное выражение $(10a^3 + 5b^2)(10a^3 - 5b^2)$ также преобразуется с помощью формулы разности квадратов: $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

Здесь $A = 10a^3$ и $B = 5b^2$.

Подставим эти значения в формулу:
$(10a^3 + 5b^2)(10a^3 - 5b^2) = (10a^3)^2 - (5b^2)^2$.

Возведем каждый член в квадрат:
$(10a^3)^2 = 10^2 \cdot (a^3)^2 = 100a^6$.
$(5b^2)^2 = 5^2 \cdot (b^2)^2 = 25b^4$.

Следовательно, результат равен: $100a^6 - 25b^4$.

Ответ: $100a^6 - 25b^4$.

в)

Для выражения $(3n^4 - m^4)(3n^4 + m^4)$ используем ту же формулу разности квадратов: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

В этом случае $A = 3n^4$ и $B = m^4$.

Применение формулы дает:
$(3n^4 - m^4)(3n^4 + m^4) = (3n^4)^2 - (m^4)^2$.

Выполним возведение в степень:
$(3n^4)^2 = 3^2 \cdot (n^4)^2 = 9n^8$.
$(m^4)^2 = m^8$.

Результат умножения: $9n^8 - m^8$.

Ответ: $9n^8 - m^8$.

г)

Выражение $(10m^8 + 8n^8)(10m^8 - 8n^8)$ является произведением суммы и разности, поэтому применяем формулу разности квадратов $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

В данном примере $A = 10m^8$ и $B = 8n^8$.

Подставляем в формулу:
$(10m^8 + 8n^8)(10m^8 - 8n^8) = (10m^8)^2 - (8n^8)^2$.

Возводим каждый одночлен в квадрат:
$(10m^8)^2 = 10^2 \cdot (m^8)^2 = 100m^{16}$.
$(8n^8)^2 = 8^2 \cdot (n^8)^2 = 64n^{16}$.

Итоговое выражение: $100m^{16} - 64n^{16}$.

Ответ: $100m^{16} - 64n^{16}$.