Страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

32.5 a) $(3a + 5)(3a - 6) + 30;$

б) $(8 - y)(8 + y) - (y^2 + 4);$

В) $x(x - 3) + (x + 1)(x + 4);$

г) $(c + 2)c - (c + 3)(c - 3).$

а) Чтобы упростить выражение $(3a + 5)(3a - 6) + 30$, сначала раскроем скобки, перемножив два многочлена:
$(3a + 5)(3a - 6) = 3a \cdot 3a + 3a \cdot (-6) + 5 \cdot 3a + 5 \cdot (-6) = 9a^2 - 18a + 15a - 30$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$(9a^2 - 18a + 15a - 30) + 30$.
Приведем подобные слагаемые:
$9a^2 + (-18a + 15a) + (-30 + 30) = 9a^2 - 3a$.
Ответ: $9a^2 - 3a$

б) Упростим выражение $(8 - y)(8 + y) - (y^2 + 4)$.
Первое произведение $(8 - y)(8 + y)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(8 - y)(8 + y) = 8^2 - y^2 = 64 - y^2$.
Подставим это в исходное выражение и раскроем вторые скобки:
$(64 - y^2) - (y^2 + 4) = 64 - y^2 - y^2 - 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(64 - 4) + (-y^2 - y^2) = 60 - 2y^2$.
Ответ: $60 - 2y^2$

в) Упростим выражение $x(x - 3) + (x + 1)(x + 4)$.
Раскроем скобки в каждой части выражения по отдельности:
$x(x - 3) = x^2 - 3x$.
$(x + 1)(x + 4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(x^2 - 3x) + (x^2 + 5x + 4) = x^2 - 3x + x^2 + 5x + 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2) + (-3x + 5x) + 4 = 2x^2 + 2x + 4$.
Ответ: $2x^2 + 2x + 4$

г) Упростим выражение $(c + 2)c - (c + 3)(c - 3)$.
Раскроем скобки в первой части: $(c + 2)c = c^2 + 2c$.
Вторая часть $(c + 3)(c - 3)$ является формулой разности квадратов:
$(c + 3)(c - 3) = c^2 - 3^2 = c^2 - 9$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(c^2 + 2c) - (c^2 - 9) = c^2 + 2c - c^2 + 9$.
Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 - c^2) + 2c + 9 = 2c + 9$.
Ответ: $2c + 9$

32.6 a) $0.3a(4a^2 - 3)(2a^2 + 5);$

б) $1.5x(3x^2 - 5)(2x^2 + 3);$

в) $3p(2p + 4) \cdot 2p(2p - 3);$

г) $-0.5y(4 - 2y^2)(y^2 + 3).$

а) $0,3a(4a^2 - 3)(2a^2 + 5)$

Чтобы упростить данное выражение, сначала выполним умножение многочленов в скобках, используя правило умножения двучленов (каждый член первого двучлена умножается на каждый член второго):

$(4a^2 - 3)(2a^2 + 5) = 4a^2 \cdot 2a^2 + 4a^2 \cdot 5 - 3 \cdot 2a^2 - 3 \cdot 5 = 8a^4 + 20a^2 - 6a^2 - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$8a^4 + (20 - 6)a^2 - 15 = 8a^4 + 14a^2 - 15$

Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $0,3a$:

$0,3a(8a^4 + 14a^2 - 15) = 0,3a \cdot 8a^4 + 0,3a \cdot 14a^2 - 0,3a \cdot 15 = 2,4a^5 + 4,2a^3 - 4,5a$

Ответ: $2,4a^5 + 4,2a^3 - 4,5a$

б) $1,5x(3x^2 - 5)(2x^2 + 3)$

Сначала перемножим выражения в скобках:

$(3x^2 - 5)(2x^2 + 3) = 3x^2 \cdot 2x^2 + 3x^2 \cdot 3 - 5 \cdot 2x^2 - 5 \cdot 3 = 6x^4 + 9x^2 - 10x^2 - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$6x^4 + (9 - 10)x^2 - 15 = 6x^4 - x^2 - 15$

Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $1,5x$:

$1,5x(6x^4 - x^2 - 15) = 1,5x \cdot 6x^4 - 1,5x \cdot x^2 - 1,5x \cdot 15 = 9x^5 - 1,5x^3 - 22,5x$

Ответ: $9x^5 - 1,5x^3 - 22,5x$

в) $3p(2p + 4) - 2p(2p - 3)$

Для упрощения этого выражения раскроем скобки, умножив одночлены на многочлены:

Первое слагаемое: $3p(2p + 4) = 3p \cdot 2p + 3p \cdot 4 = 6p^2 + 12p$

Второе слагаемое: $-2p(2p - 3) = -2p \cdot 2p - 2p \cdot (-3) = -4p^2 + 6p$

Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(6p^2 + 12p) + (-4p^2 + 6p) = 6p^2 + 12p - 4p^2 + 6p = (6p^2 - 4p^2) + (12p + 6p) = 2p^2 + 18p$

Ответ: $2p^2 + 18p$

г) $-0,5y(4 - 2y^2)(y^2 + 3)$

Сначала перемножим выражения в скобках:

$(4 - 2y^2)(y^2 + 3) = 4 \cdot y^2 + 4 \cdot 3 - 2y^2 \cdot y^2 - 2y^2 \cdot 3 = 4y^2 + 12 - 2y^4 - 6y^2$

Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней):

$-2y^4 + (4 - 6)y^2 + 12 = -2y^4 - 2y^2 + 12$

Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $-0,5y$:

$-0,5y(-2y^4 - 2y^2 + 12) = -0,5y \cdot (-2y^4) - 0,5y \cdot (-2y^2) - 0,5y \cdot 12 = y^5 + y^3 - 6y$

Ответ: $y^5 + y^3 - 6y$

32.7 a) $(3m^3 + 5)(3m^2 - 10);$

В) $(5k^4 + 2)(6k^2 - 1);$

б) $(4n^5 - 1)(2n^3 + 3);$

г) $(6p^8 - 4)(2p^2 + 5).$

а) Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить.
$(3m^3 + 5)(3m^2 - 10) = 3m^3 \cdot 3m^2 + 3m^3 \cdot (-10) + 5 \cdot 3m^2 + 5 \cdot (-10) = 9m^{3+2} - 30m^3 + 15m^2 - 50 = 9m^5 - 30m^3 + 15m^2 - 50$.
Так как в полученном многочлене нет подобных слагаемых, это окончательный вид.
Ответ: $9m^5 - 30m^3 + 15m^2 - 50$.

б) Умножим каждый член первого многочлена $(4n^5 - 1)$ на каждый член второго многочлена $(2n^3 + 3)$ и сложим результаты.
$(4n^5 - 1)(2n^3 + 3) = 4n^5 \cdot 2n^3 + 4n^5 \cdot 3 + (-1) \cdot 2n^3 + (-1) \cdot 3 = 8n^{5+3} + 12n^5 - 2n^3 - 3 = 8n^8 + 12n^5 - 2n^3 - 3$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $8n^8 + 12n^5 - 2n^3 - 3$.

в) Применим правило умножения многочленов: каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого.
$(5k^4 + 2)(6k^2 - 1) = 5k^4 \cdot 6k^2 + 5k^4 \cdot (-1) + 2 \cdot 6k^2 + 2 \cdot (-1) = 30k^{4+2} - 5k^4 + 12k^2 - 2 = 30k^6 - 5k^4 + 12k^2 - 2$.
Упрощение не требуется, так как нет подобных членов.
Ответ: $30k^6 - 5k^4 + 12k^2 - 2$.

г) Выполним умножение многочленов, используя распределительное свойство.
$(6p^8 - 4)(2p^2 + 5) = 6p^8 \cdot 2p^2 + 6p^8 \cdot 5 + (-4) \cdot 2p^2 + (-4) \cdot 5 = 12p^{8+2} + 30p^8 - 8p^2 - 20 = 12p^{10} + 30p^8 - 8p^2 - 20$.
Полученный многочлен является стандартным видом, так как не содержит подобных слагаемых.
Ответ: $12p^{10} + 30p^8 - 8p^2 - 20$.

32.8 а) $(a + 2)(a^2 - a - 3)$; В) $(5b - 1)(b^2 - 5b + 1);
б) $(m - n + 1)(m + n)$; г) $(c - 2d)(c + 2d - 1).$

а) Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Раскроем скобки, применяя это правило:

$(a + 2)(a^2 - a - 3) = a \cdot (a^2 - a - 3) + 2 \cdot (a^2 - a - 3) = a^3 - a^2 - 3a + 2a^2 - 2a - 6$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-a^2 + 2a^2) + (-3a - 2a) - 6 = a^3 + a^2 - 5a - 6$.

Ответ: $a^3 + a^2 - 5a - 6$.

б) Для решения этого примера можно перегруппировать слагаемые в первом множителе и воспользоваться распределительным свойством умножения, а затем формулой разности квадратов.

$(m - n + 1)(m + n) = ((m - n) + 1)(m + n) = (m - n)(m + n) + 1 \cdot (m + n)$.

Выражение $(m - n)(m + n)$ является формулой разности квадратов: $m^2 - n^2$.

Подставим результат и упростим:

$(m^2 - n^2) + (m + n) = m^2 - n^2 + m + n$.

Ответ: $m^2 - n^2 + m + n$.

в) Выполним умножение многочленов $(5b - 1)$ и $(b^2 - 5b + 1)$ поочередно умножая каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$(5b - 1)(b^2 - 5b + 1) = 5b(b^2 - 5b + 1) - 1(b^2 - 5b + 1) = 5b^3 - 25b^2 + 5b - b^2 + 5b - 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$5b^3 + (-25b^2 - b^2) + (5b + 5b) - 1 = 5b^3 - 26b^2 + 10b - 1$.

Ответ: $5b^3 - 26b^2 + 10b - 1$.

г) В этом примере также удобно применить метод группировки, чтобы использовать формулу разности квадратов. Перегруппируем слагаемые во втором множителе.

$(c - 2d)(c + 2d - 1) = (c - 2d)((c + 2d) - 1)$.

Применим распределительное свойство:

$(c - 2d)(c + 2d) - (c - 2d) \cdot 1$.

Выражение $(c - 2d)(c + 2d)$ является разностью квадратов и равно $c^2 - (2d)^2 = c^2 - 4d^2$.

Подставим это в наше выражение и раскроем оставшиеся скобки:

$(c^2 - 4d^2) - (c - 2d) = c^2 - 4d^2 - c + 2d$.

Ответ: $c^2 - 4d^2 - c + 2d$.

32.9 a) $(x^2 - xy + y^2)(x + y);$

Б) $(a + x)(a^2 + ax + x^2);$

В) $(n^2 + np + p^2)(n - p);$

Г) $(c^2 - cd + d^2)(c - d).$

а) Данное выражение является произведением неполного квадрата разности двух выражений на их сумму. Это формула сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
В данном случае $a=x$ и $b=y$. Применяя формулу, получаем:
$(x^2 - xy + y^2)(x + y) = x^3 + y^3$.
Также можно решить задачу путем прямого умножения многочленов (раскрытия скобок):
$(x^2 - xy + y^2)(x + y) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot y - xy \cdot x - xy \cdot y + y^2 \cdot x + y^2 \cdot y = x^3 + x^2y - x^2y - xy^2 + xy^2 + y^3$.
После приведения подобных слагаемых $(x^2y - x^2y = 0$ и $-xy^2 + xy^2 = 0)$ получаем тот же результат.
Ответ: $x^3 + y^3$.

б) В данном примере необходимо раскрыть скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго.
$(a + x)(a^2 + ax + x^2) = a \cdot (a^2 + ax + x^2) + x \cdot (a^2 + ax + x^2)$
$= a \cdot a^2 + a \cdot ax + a \cdot x^2 + x \cdot a^2 + x \cdot ax + x \cdot x^2$
$= a^3 + a^2x + ax^2 + a^2x + ax^2 + x^3$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (a^2x + a^2x) + (ax^2 + ax^2) + x^3 = a^3 + 2a^2x + 2ax^2 + x^3$.
Ответ: $a^3 + 2a^2x + 2ax^2 + x^3$.

в) Данное выражение является произведением неполного квадрата суммы двух выражений на их разность. Это формула сокращенного умножения для разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
В данном случае $a=n$ и $b=p$. Применяя формулу, получаем:
$(n^2 + np + p^2)(n - p) = n^3 - p^3$.
Также можно решить задачу путем прямого умножения многочленов (раскрытия скобок):
$(n^2 + np + p^2)(n - p) = n^2 \cdot n + n^2 \cdot (-p) + np \cdot n + np \cdot (-p) + p^2 \cdot n + p^2 \cdot (-p) = n^3 - n^2p + n^2p - np^2 + np^2 - p^3$.
После приведения подобных слагаемых ($-n^2p + n^2p = 0$ и $-np^2 + np^2 = 0)$ получаем тот же результат.
Ответ: $n^3 - p^3$.

г) В данном примере необходимо раскрыть скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго.
$(c^2 - cd + d^2)(c - d) = c \cdot (c^2 - cd + d^2) - d \cdot (c^2 - cd + d^2)$
$= (c \cdot c^2 - c \cdot cd + c \cdot d^2) - (d \cdot c^2 - d \cdot cd + d \cdot d^2)$
$= c^3 - c^2d + cd^2 - c^2d + cd^2 - d^3$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$c^3 + (-c^2d - c^2d) + (cd^2 + cd^2) - d^3 = c^3 - 2c^2d + 2cd^2 - d^3$.
Ответ: $c^3 - 2c^2d + 2cd^2 - d^3$.

32.10 а) $(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2);$

б) $(5 - 2a + a^2)(4a^2 - 3a - 1);$

в) $(5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2);$

г) $(m^2 - m + 2)(3m^2 + m - 2).$

а)

Данное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Это формула сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

В нашем случае, пусть $x=2a$ и $y=3b$. Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 - 6ab + 9b^2)$ части формулы $(x^2-xy+y^2)$:

$x^2 = (2a)^2 = 4a^2$

$y^2 = (3b)^2 = 9b^2$

$xy = (2a)(3b) = 6ab$

Выражение во второй скобке полностью соответствует формуле. Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2) = (2a)^3 + (3b)^3 = 8a^3 + 27b^3$.

Ответ: $8a^3 + 27b^3$

б)

Для решения этой задачи необходимо перемножить два многочлена. Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

$(5 - 2a + a^2)(4a^2 - 3a - 1) = 5(4a^2 - 3a - 1) - 2a(4a^2 - 3a - 1) + a^2(4a^2 - 3a - 1)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$(20a^2 - 15a - 5) + (-8a^3 + 6a^2 + 2a) + (4a^4 - 3a^3 - a^2)$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые по степеням переменной $a$:

$4a^4 + (-8a^3 - 3a^3) + (20a^2 + 6a^2 - a^2) + (-15a + 2a) - 5$

$4a^4 - 11a^3 + 25a^2 - 13a - 5$

Ответ: $4a^4 - 11a^3 + 25a^2 - 13a - 5$

в)

Это выражение является произведением разности двух выражений на их неполный квадрат суммы. Это формула сокращенного умножения для разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.

В данном случае, пусть $x=5x$ и $y=2y$. Проверим, соответствует ли вторая скобка $(25x^2 + 10xy + 4y^2)$ части формулы $(x^2+xy+y^2)$:

$x^2 \rightarrow (5x)^2 = 25x^2$

$y^2 \rightarrow (2y)^2 = 4y^2$

$xy \rightarrow (5x)(2y) = 10xy$

Выражение во второй скобке полностью соответствует формуле. Применим формулу разности кубов:

$(5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2) = (5x)^3 - (2y)^3 = 125x^3 - 8y^3$.

Ответ: $125x^3 - 8y^3$

г)

Для упрощения умножения сгруппируем слагаемые в скобках. Перепишем исходное выражение, выделив общую часть $m-2$:

$(m^2 - m + 2)(3m^2 + m - 2) = (m^2 - (m - 2))(3m^2 + (m - 2))$

Пусть $A = m^2$ и $B = m-2$. Тогда выражение принимает вид:

$(A - B)(3A + B)$

Перемножим эти двучлены:

$(A - B)(3A + B) = A(3A+B) - B(3A+B) = 3A^2 + AB - 3AB - B^2 = 3A^2 - 2AB - B^2$

Теперь выполним обратную подстановку, заменив $A$ на $m^2$ и $B$ на $m-2$:

$3(m^2)^2 - 2(m^2)(m-2) - (m-2)^2$

Раскроем скобки и упростим, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$3m^4 - 2m^2(m-2) - (m^2 - 4m + 4)$

$= 3m^4 - (2m^3 - 4m^2) - m^2 + 4m - 4$

$= 3m^4 - 2m^3 + 4m^2 - m^2 + 4m - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$3m^4 - 2m^3 + 3m^2 + 4m - 4$

Ответ: $3m^4 - 2m^3 + 3m^2 + 4m - 4$

32.11 Найдите значение выражения:

а) $(a - 1)(a - 2) - (a - 5)(a + 3)$ при $a = -8;$

б) $(a - 3)(a + 4) - (a + 2)(a + 5)$ при $a = -\frac{1}{6};$

в) $(a - 7)(a + 4) - (a + 3)(a - 10)$ при $a = -0,15;$

г) $(a + 2)(a + 5) - (a + 3)(a + 4)$ при $a = -0,4.$

а) $(a - 1)(a - 2) - (a - 5)(a + 3)$ при $a = -8$

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$(a - 1)(a - 2) = a \cdot a - 2 \cdot a - 1 \cdot a + (-1) \cdot (-2) = a^2 - 2a - a + 2 = a^2 - 3a + 2$

$(a - 5)(a + 3) = a \cdot a + 3 \cdot a - 5 \cdot a - 5 \cdot 3 = a^2 + 3a - 5a - 15 = a^2 - 2a - 15$

Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(a^2 - 3a + 2) - (a^2 - 2a - 15) = a^2 - 3a + 2 - a^2 + 2a + 15$

Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-3a + 2a) + (2 + 15) = 0 - a + 17 = 17 - a$

Подставим значение $a = -8$ в упрощенное выражение:
$17 - (-8) = 17 + 8 = 25$

Ответ: 25

б) $(a - 3)(a + 4) - (a + 2)(a + 5)$ при $a = -\frac{1}{6}$

Сначала упростим выражение:

$(a - 3)(a + 4) = a^2 + 4a - 3a - 12 = a^2 + a - 12$

$(a + 2)(a + 5) = a^2 + 5a + 2a + 10 = a^2 + 7a + 10$

Выполним вычитание:
$(a^2 + a - 12) - (a^2 + 7a + 10) = a^2 + a - 12 - a^2 - 7a - 10$

Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (a - 7a) + (-12 - 10) = -6a - 22$

Подставим значение $a = -\frac{1}{6}$ в упрощенное выражение:
$-6 \cdot (-\frac{1}{6}) - 22 = 1 - 22 = -21$

Ответ: -21

в) $(a - 7)(a + 4) - (a + 3)(a - 10)$ при $a = -0,15$

Сначала упростим выражение:

$(a - 7)(a + 4) = a^2 + 4a - 7a - 28 = a^2 - 3a - 28$

$(a + 3)(a - 10) = a^2 - 10a + 3a - 30 = a^2 - 7a - 30$

Выполним вычитание:
$(a^2 - 3a - 28) - (a^2 - 7a - 30) = a^2 - 3a - 28 - a^2 + 7a + 30$

Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-3a + 7a) + (-28 + 30) = 4a + 2$

Подставим значение $a = -0,15$ в упрощенное выражение:
$4 \cdot (-0,15) + 2 = -0,6 + 2 = 1,4$

Ответ: 1,4

г) $(a + 2)(a + 5) - (a + 3)(a + 4)$ при $a = -0,4$

Сначала упростим выражение:

$(a + 2)(a + 5) = a^2 + 5a + 2a + 10 = a^2 + 7a + 10$

$(a + 3)(a + 4) = a^2 + 4a + 3a + 12 = a^2 + 7a + 12$

Выполним вычитание:
$(a^2 + 7a + 10) - (a^2 + 7a + 12) = a^2 + 7a + 10 - a^2 - 7a - 12$

Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (7a - 7a) + (10 - 12) = 0 + 0 - 2 = -2$

В результате упрощения получилось число -2, которое не зависит от значения переменной $a$.

Ответ: -2

Решите уравнение:

32.12 а) $12x^2 - (4x - 3)(3x + 1) = -2$;

б) $(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) = 0$;

в) $10x^2 - (2x - 3)(5x - 1) = 31$;

г) $(x - 2)(x - 3) - (x + 2)(x - 5) = 0$.

а) $12x^2 - (4x - 3)(3x + 1) = -2$

Сначала раскроем скобки произведения многочленов в левой части уравнения:

$(4x - 3)(3x + 1) = 4x \cdot 3x + 4x \cdot 1 - 3 \cdot 3x - 3 \cdot 1 = 12x^2 + 4x - 9x - 3 = 12x^2 - 5x - 3$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$12x^2 - (12x^2 - 5x - 3) = -2$.

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$12x^2 - 12x^2 + 5x + 3 = -2$.

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$5x + 3 = -2$.

Решим полученное линейное уравнение, перенеся 3 в правую часть с противоположным знаком:

$5x = -2 - 3$
$5x = -5$
$x = \frac{-5}{5}$
$x = -1$.

Ответ: $-1$.

б) $(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого перемножим многочлены:

$(x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.

$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 7x + 12) = 0$.

Раскроем скобки, помня о знаке минус перед вторыми скобками:

$x^2 + 3x + 2 - x^2 - 7x - 12 = 0$.

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(3x - 7x) + (2 - 12) = 0$
$-4x - 10 = 0$.

Решим полученное линейное уравнение:

$-4x = 10$
$x = \frac{10}{-4}$
$x = -2.5$.

Ответ: $-2.5$.

в) $10x^2 - (2x - 3)(5x - 1) = 31$

Раскроем скобки произведения многочленов:

$(2x - 3)(5x - 1) = 2x \cdot 5x - 2x \cdot 1 - 3 \cdot 5x + 3 \cdot 1 = 10x^2 - 2x - 15x + 3 = 10x^2 - 17x + 3$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$10x^2 - (10x^2 - 17x + 3) = 31$.

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$10x^2 - 10x^2 + 17x - 3 = 31$.

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$17x - 3 = 31$.

Решим полученное линейное уравнение:

$17x = 31 + 3$
$17x = 34$
$x = \frac{34}{17}$
$x = 2$.

Ответ: $2$.

г) $(x - 2)(x - 3) - (x + 2)(x - 5) = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив многочлены:

$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

$(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 3x - 10) = 0$.

Раскроем скобки:

$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 3x + 10 = 0$.

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(-5x + 3x) + (6 + 10) = 0$
$-2x + 16 = 0$.

Решим полученное линейное уравнение:

$-2x = -16$
$x = \frac{-16}{-2}$
$x = 8$.

Ответ: $8$.

32.13 а) $(3x + 5)(4x - 1) = (6x - 3)(2x + 7);$

б) $(5x - 1)(2 - x) = (x - 3)(2 - 5x);$

в) $(5x + 1)(2x - 3) = (10x - 3)(x + 1);$

г) $(7x - 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3).$

а) $(3x + 5)(4x - 1) = (6x - 3)(2x + 7)$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки в левой и правой частях. Для этого каждый член одного многочлена умножим на каждый член другого.

Левая часть: $(3x + 5)(4x - 1) = 3x \cdot 4x + 3x \cdot (-1) + 5 \cdot 4x + 5 \cdot (-1) = 12x^2 - 3x + 20x - 5$.

Правая часть: $(6x - 3)(2x + 7) = 6x \cdot 2x + 6x \cdot 7 - 3 \cdot 2x - 3 \cdot 7 = 12x^2 + 42x - 6x - 21$.

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

Левая часть: $12x^2 + 17x - 5$.

Правая часть: $12x^2 + 36x - 21$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$12x^2 + 17x - 5 = 12x^2 + 36x - 21$.

Вычтем $12x^2$ из обеих частей уравнения, так как этот член присутствует и слева, и справа:

$17x - 5 = 36x - 21$.

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены (числа) — в другую:

$21 - 5 = 36x - 17x$.

Выполним вычисления:

$16 = 19x$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 19:

$x = \frac{16}{19}$.

Ответ: $x = \frac{16}{19}$.

б) $(5x - 1)(2 - x) = (x - 3)(2 - 5x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть: $(5x - 1)(2 - x) = 5x \cdot 2 + 5x \cdot (-x) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-x) = 10x - 5x^2 - 2 + x = -5x^2 + 11x - 2$.

Правая часть: $(x - 3)(2 - 5x) = x \cdot 2 + x \cdot (-5x) - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-5x) = 2x - 5x^2 - 6 + 15x = -5x^2 + 17x - 6$.

Приравняем полученные выражения:

$-5x^2 + 11x - 2 = -5x^2 + 17x - 6$.

Слагаемые $-5x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$11x - 2 = 17x - 6$.

Сгруппируем члены с $x$ в одной части, а числа — в другой:

$6 - 2 = 17x - 11x$.

Выполним вычисления:

$4 = 6x$.

Найдем $x$:

$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

в) $(5x + 1)(2x - 3) = (10x - 3)(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть: $(5x + 1)(2x - 3) = 10x^2 - 15x + 2x - 3 = 10x^2 - 13x - 3$.

Правая часть: $(10x - 3)(x + 1) = 10x^2 + 10x - 3x - 3 = 10x^2 + 7x - 3$.

Приравняем полученные выражения:

$10x^2 - 13x - 3 = 10x^2 + 7x - 3$.

Слагаемые $10x^2$ и $-3$ присутствуют в обеих частях, поэтому они взаимно уничтожаются:

$-13x = 7x$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$7x + 13x = 0$.

$20x = 0$.

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{0}{20} = 0$.

Ответ: $x = 0$.

г) $(7x - 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть: $(7x - 1)(x + 5) = 7x^2 + 35x - x - 5 = 7x^2 + 34x - 5$.

Правая часть: $(3 + 7x)(x + 3) = 3x + 9 + 7x^2 + 21x = 7x^2 + 24x + 9$.

Приравняем полученные выражения:

$7x^2 + 34x - 5 = 7x^2 + 24x + 9$.

Слагаемые $7x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$34x - 5 = 24x + 9$.

Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а числа — в правой:

$34x - 24x = 9 + 5$.

Выполним вычисления:

$10x = 14$.

Найдем $x$:

$x = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

Ответ: $x = \frac{7}{5}$.