Страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

30.5 Найдите $p(c; d) = p_1(c; d) - p_2(c; d)$, если:

а) $p_1(c; d) = 3c^2 + d$; $p_2(c; d) = 2c^2 - 3d$;

б) $p_1(c; d) = 5c^4 + 3c^2d$; $p_2(c; d) = 2c^2 + 3c^2d + d^2$;

в) $p_1(c; d) = 12c^2d - 3cd^2 + 4$; $p_2(c; d) = 6c^2d - 5cd^2 + 2c$;

г) $p_1(c; d) = c^2 + 2cd + d^2$; $p_2(c; d) = 5c^2 - 6cd - 7d^2$.

а) Чтобы найти многочлен $p(c; d)$, нужно из многочлена $p_1(c; d)$ вычесть многочлен $p_2(c; d)$.

$p(c; d) = p_1(c; d) - p_2(c; d) = (3c^2 + d) - (2c^2 - 3d)$

Раскроем скобки, изменив знаки членов второго многочлена на противоположные:

$3c^2 + d - 2c^2 + 3d$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(3c^2 - 2c^2) + (d + 3d) = c^2 + 4d$

Ответ: $p(c; d) = c^2 + 4d$

б) Аналогично предыдущему пункту, выполним вычитание многочленов.

$p(c; d) = p_1(c; d) - p_2(c; d) = (5c^4 + 3c^2d) - (2c^2 + 3c^2d + d^2)$

Раскрываем скобки:

$5c^4 + 3c^2d - 2c^2 - 3c^2d - d^2$

Приводим подобные слагаемые:

$5c^4 - 2c^2 - d^2 + (3c^2d - 3c^2d) = 5c^4 - 2c^2 - d^2$

Ответ: $p(c; d) = 5c^4 - 2c^2 - d^2$

в) Выполняем вычитание заданных многочленов.

$p(c; d) = p_1(c; d) - p_2(c; d) = (12c^2d - 3cd^2 + 4) - (6c^2d - 5cd^2 + 2c)$

Раскрываем скобки:

$12c^2d - 3cd^2 + 4 - 6c^2d + 5cd^2 - 2c$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(12c^2d - 6c^2d) + (-3cd^2 + 5cd^2) - 2c + 4 = 6c^2d + 2cd^2 - 2c + 4$

Ответ: $p(c; d) = 6c^2d + 2cd^2 - 2c + 4$

г) Выполняем вычитание многочленов.

$p(c; d) = p_1(c; d) - p_2(c; d) = (c^2 + 2cd + d^2) - (5c^2 - 6cd - 7d^2)$

Раскрываем скобки, меняя знаки у второго многочлена:

$c^2 + 2cd + d^2 - 5c^2 + 6cd + 7d^2$

Приводим подобные слагаемые:

$(c^2 - 5c^2) + (2cd + 6cd) + (d^2 + 7d^2) = -4c^2 + 8cd + 8d^2$

Ответ: $p(c; d) = -4c^2 + 8cd + 8d^2$

Решите уравнение:

30.6

а) $(5x - 3) + (7x - 4) = 8 - (15 - 11x);$

б) $(4x + 3) - (10x + 11) = 7 + (13 - 4x);$

в) $(7 - 10x) - (8 - 8x) + (10x + 6) = -8;$

г) $(2x + 3) + (3x + 4) + (5x + 5) = 12 - 7x.$

Исходное уравнение: $(5x - 3) + (7x - 4) = 8 - (15 - 11x)$.

Первым шагом раскроем скобки. В левой части уравнения перед скобками стоит знак плюс, поэтому мы просто убираем их. В правой части перед скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки внутри скобок меняются на противоположные.

$5x - 3 + 7x - 4 = 8 - 15 + 11x$

Далее приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения. Сложим слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые отдельно для левой и правой частей.

$(5x + 7x) + (-3 - 4) = (8 - 15) + 11x$

$12x - 7 = -7 + 11x$

Теперь перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения, а все постоянные члены (числа) — в правую. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный.

$12x - 11x = -7 + 7$

Выполняем вычитание и сложение в обеих частях.

$x = 0$

Ответ: $0$

Исходное уравнение: $(4x + 3) - (10x + 11) = 7 + (13 - 4x)$.

Раскроем скобки. В левой части перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых $10x$ и $11$ меняются на противоположные. В правой части перед скобками стоит плюс, поэтому знаки не меняются.

$4x + 3 - 10x - 11 = 7 + 13 - 4x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

$(4x - 10x) + (3 - 11) = (7 + 13) - 4x$

$-6x - 8 = 20 - 4x$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числовые члены — в правую.

$-6x + 4x = 20 + 8$

Упростим обе части уравнения.

$-2x = 28$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-2$.

$x = \frac{28}{-2}$

$x = -14$

Ответ: $-14$

Исходное уравнение: $(7 - 10x) - (8 - 8x) + (10x + 6) = -8$.

Раскроем все скобки в левой части уравнения, обращая внимание на знаки перед ними.

$7 - 10x - 8 + 8x + 10x + 6 = -8$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части.

$(-10x + 8x + 10x) + (7 - 8 + 6) = -8$

$8x + 5 = -8$

Перенесем число $5$ из левой части в правую с противоположным знаком.

$8x = -8 - 5$

$8x = -13$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $8$.

$x = -\frac{13}{8}$

Этот ответ можно также записать в виде десятичной дроби: $x = -1.625$.

Ответ: $-\frac{13}{8}$

Исходное уравнение: $(2x + 3) + (3x + 4) + (5x + 5) = 12 - 7x$.

Раскроем скобки в левой части. Поскольку перед всеми скобками стоит знак плюс, мы их просто убираем.

$2x + 3 + 3x + 4 + 5x + 5 = 12 - 7x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

$(2x + 3x + 5x) + (3 + 4 + 5) = 12 - 7x$

$10x + 12 = 12 - 7x$

Перенесем член $-7x$ из правой части в левую, а число $12$ из левой части в правую, не забывая менять их знаки.

$10x + 7x = 12 - 12$

Упростим обе части уравнения.

$17x = 0$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $17$.

$x = \frac{0}{17}$

$x = 0$

Ответ: $0$

30.7 a) $\frac{3}{4}y - \left(\frac{5}{6}y - 1,25\right) = 0,55;$

Б) $\frac{3}{4}x - \left(0,25x - 3\right) = 1,2;$

В) $\frac{3}{8}x - \left(\frac{1}{3}x - 2,4\right) = -0,4;$

Г) $\frac{1}{2}x - \left(2,5x - 3\right) = 1,8.$

а)

Дано уравнение: $\frac{3}{4}y - (\frac{5}{6}y - 1,25) = 0,55$.

Первым шагом раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$\frac{3}{4}y - \frac{5}{6}y + 1,25 = 0,55$

Перенесем числовое слагаемое $1,25$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$\frac{3}{4}y - \frac{5}{6}y = 0,55 - 1,25$

$\frac{3}{4}y - \frac{5}{6}y = -0,7$

Сгруппируем слагаемые с $y$. Для этого приведем дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ к общему знаменателю, который равен 12:

$(\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2})y = -0,7$

$(\frac{9}{12} - \frac{10}{12})y = -0,7$

$-\frac{1}{12}y = -0,7$

Чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на -12. Представим $-0,7$ как $-\frac{7}{10}$:

$y = (-\frac{7}{10}) \cdot (-12)$

$y = \frac{7 \cdot 12}{10} = \frac{84}{10} = 8,4$

Ответ: $y = 8,4$.

б)

Дано уравнение: $\frac{3}{4}x - (0,25x - 3) = 1,2$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$\frac{3}{4}x - 0,25x + 3 = 1,2$

Для удобства вычислений преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{4} = 0,75$.

$0,75x - 0,25x + 3 = 1,2$

Приведем подобные слагаемые в левой части и перенесем число 3 в правую часть:

$(0,75 - 0,25)x = 1,2 - 3$

$0,5x = -1,8$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,5:

$x = \frac{-1,8}{0,5}$

$x = -3,6$

Ответ: $x = -3,6$.

в)

Дано уравнение: $\frac{3}{8}x - (\frac{1}{3}x - 2,4) = -0,4$.

Раскроем скобки:

$\frac{3}{8}x - \frac{1}{3}x + 2,4 = -0,4$

Перенесем число 2,4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$\frac{3}{8}x - \frac{1}{3}x = -0,4 - 2,4$

$\frac{3}{8}x - \frac{1}{3}x = -2,8$

Выполним вычитание дробей в левой части, приведя их к общему знаменателю 24:

$(\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8})x = -2,8$

$(\frac{9}{24} - \frac{8}{24})x = -2,8$

$\frac{1}{24}x = -2,8$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 24:

$x = -2,8 \cdot 24$

$x = -67,2$

Ответ: $x = -67,2$.

г)

Дано уравнение: $\frac{1}{2}x - (2,5x - 3) = 1,8$.

Раскроем скобки:

$\frac{1}{2}x - 2,5x + 3 = 1,8$

Преобразуем дробь $\frac{1}{2}$ в десятичную: $\frac{1}{2} = 0,5$.

$0,5x - 2,5x + 3 = 1,8$

Приведем подобные слагаемые и перенесем число 3 в правую часть:

$(0,5 - 2,5)x = 1,8 - 3$

$-2x = -1,2$

Найдем $x$, разделив обе части на -2:

$x = \frac{-1,2}{-2}$

$x = 0,6$

Ответ: $x = 0,6$.

30.8 Турист был в пути 4 ч. За первый час он прошёл $x$ км, а в каждый следующий час проходил на 0,5 км меньше, чем в предыдущий. Найдите путь, пройденный туристом:

а) за третий час;

б) за последние три часа;

в) за первые два часа;

г) за всё время ходьбы.

Условия задачи описывают арифметическую прогрессию, где каждый член — это расстояние, пройденное туристом за один час.

Первый член прогрессии (путь за первый час): $a_1 = x$ км.

Разность прогрессии, так как каждый час путь уменьшался на 0,5 км: $d = -0,5$ км.

Общее количество членов прогрессии (количество часов в пути): $n = 4$.

Рассчитаем расстояние, пройденное за каждый час:

• За 1-й час ($a_1$): $x$ км
• За 2-й час ($a_2$): $a_1 + d = x - 0,5$ км
• За 3-й час ($a_3$): $a_2 + d = (x - 0,5) - 0,5 = x - 1$ км
• За 4-й час ($a_4$): $a_3 + d = (x - 1) - 0,5 = x - 1,5$ км

а) за третий час;

Путь, пройденный туристом за третий час, равен третьему члену арифметической прогрессии $a_3$.

Из расчетов выше, расстояние составляет $(x - 1)$ км.

Ответ: $(x - 1)$ км.

б) за последние три часа;

Путь за последние три часа — это сумма расстояний, пройденных за второй, третий и четвертый часы: $a_2 + a_3 + a_4$.

Суммируем значения: $(x - 0,5) + (x - 1) + (x - 1,5) = 3x - (0,5 + 1 + 1,5) = 3x - 3$ км.

Ответ: $(3x - 3)$ км.

в) за первые два часа;

Путь за первые два часа — это сумма расстояний, пройденных за первый и второй часы: $a_1 + a_2$.

Суммируем значения: $x + (x - 0,5) = 2x - 0,5$ км.

Ответ: $(2x - 0,5)$ км.

г) за всё время ходьбы.

Общий путь за все 4 часа — это сумма всех членов прогрессии: $S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$.

Суммируем значения: $x + (x - 0,5) + (x - 1) + (x - 1,5) = 4x - 3$ км.

Также можно воспользоваться формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:

$S_4 = \frac{2x + (-0,5)(4-1)}{2} \cdot 4 = \frac{2x - 1,5}{2} \cdot 4 = (2x - 1,5) \cdot 2 = 4x - 3$ км.

Ответ: $(4x - 3)$ км.

30.9 Даны три многочлена: $p_1(a) = 2a^3 + 3a^2 - a + 1,$

$p_2(a) = 4a^4 + 6a^3 - 2a^2 + 2a,$

$p_3(a) = 2a^5 + 3a^4 - a^3 + a^2.$

Найдите:

а) $p(a) = p_1(a) + p_2(a) + p_3(a);$

б) $p(a) = p_1(a) - p_2(a) + p_3(a);$

в) $p(a) = p_1(a) + p_2(a) - p_3(a);$

г) $p(a) = p_1(a) - p_2(a) - p_3(a).$

Даны три многочлена: $p_1(a) = 2a^3 + 3a^2 - a + 1$, $p_2(a) = 4a^4 + 6a^3 - 2a^2 + 2a$, $p_3(a) = 2a^5 + 3a^4 - a^3 + a^2$. Для нахождения результирующих многочленов $p(a)$ необходимо выполнить указанные операции сложения и вычитания.

а) $p(a) = p_1(a) + p_2(a) + p_3(a)$

Подставим выражения для многочленов и выполним сложение:

$p(a) = (2a^3 + 3a^2 - a + 1) + (4a^4 + 6a^3 - 2a^2 + 2a) + (2a^5 + 3a^4 - a^3 + a^2)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые по убыванию степеней переменной $a$:

$p(a) = 2a^5 + (4a^4 + 3a^4) + (2a^3 + 6a^3 - a^3) + (3a^2 - 2a^2 + a^2) + (-a + 2a) + 1$

Приведем подобные члены:

$p(a) = 2a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 2a^2 + a + 1$

Ответ: $p(a) = 2a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 2a^2 + a + 1$.

б) $p(a) = p_1(a) - p_2(a) + p_3(a)$

Подставим выражения для многочленов:

$p(a) = (2a^3 + 3a^2 - a + 1) - (4a^4 + 6a^3 - 2a^2 + 2a) + (2a^5 + 3a^4 - a^3 + a^2)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки. Перед $p_2(a)$ стоит минус, поэтому знаки всех его членов меняются на противоположные:

$p(a) = 2a^3 + 3a^2 - a + 1 - 4a^4 - 6a^3 + 2a^2 - 2a + 2a^5 + 3a^4 - a^3 + a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$p(a) = 2a^5 + (3a^4 - 4a^4) + (2a^3 - 6a^3 - a^3) + (3a^2 + 2a^2 + a^2) + (-a - 2a) + 1$

$p(a) = 2a^5 - a^4 - 5a^3 + 6a^2 - 3a + 1$

Ответ: $p(a) = 2a^5 - a^4 - 5a^3 + 6a^2 - 3a + 1$.

в) $p(a) = p_1(a) + p_2(a) - p_3(a)$

Подставим выражения для многочленов:

$p(a) = (2a^3 + 3a^2 - a + 1) + (4a^4 + 6a^3 - 2a^2 + 2a) - (2a^5 + 3a^4 - a^3 + a^2)$

Раскроем скобки. Перед $p_3(a)$ стоит минус, поэтому знаки всех его членов меняются на противоположные:

$p(a) = 2a^3 + 3a^2 - a + 1 + 4a^4 + 6a^3 - 2a^2 + 2a - 2a^5 - 3a^4 + a^3 - a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$p(a) = -2a^5 + (4a^4 - 3a^4) + (2a^3 + 6a^3 + a^3) + (3a^2 - 2a^2 - a^2) + (-a + 2a) + 1$

$p(a) = -2a^5 + a^4 + 9a^3 + 0 \cdot a^2 + a + 1$

$p(a) = -2a^5 + a^4 + 9a^3 + a + 1$

Ответ: $p(a) = -2a^5 + a^4 + 9a^3 + a + 1$.

г) $p(a) = p_1(a) - p_2(a) - p_3(a)$

Подставим выражения для многочленов:

$p(a) = (2a^3 + 3a^2 - a + 1) - (4a^4 + 6a^3 - 2a^2 + 2a) - (2a^5 + 3a^4 - a^3 + a^2)$

Раскроем скобки, меняя знаки у членов многочленов $p_2(a)$ и $p_3(a)$:

$p(a) = 2a^3 + 3a^2 - a + 1 - 4a^4 - 6a^3 + 2a^2 - 2a - 2a^5 - 3a^4 + a^3 - a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$p(a) = -2a^5 + (-4a^4 - 3a^4) + (2a^3 - 6a^3 + a^3) + (3a^2 + 2a^2 - a^2) + (-a - 2a) + 1$

$p(a) = -2a^5 - 7a^4 - 3a^3 + 4a^2 - 3a + 1$

Ответ: $p(a) = -2a^5 - 7a^4 - 3a^3 + 4a^2 - 3a + 1$.

30.10 Даны три многочлена:

$p_1(x; y) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

$p_2(x; y) = 20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3$

$p_3(x; y) = 10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3$

Найдите:

а) $p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) + p_3(x; y);$

б) $p(x; y) = p_1(x; y) - p_2(x; y) + p_3(x; y);$

в) $p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) - p_3(x; y);$

г) $p(x; y) = p_1(x; y) - p_2(x; y) - p_3(x; y).$

Даны три многочлена:

$p_1(x; y) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

$p_2(x; y) = 20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3$

$p_3(x; y) = 10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3$

Для нахождения искомых многочленов $p(x; y)$ необходимо выполнить сложение и вычитание данных многочленов, приводя подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью (например, $27x^3$, $20x^3$ и $10x^3$).

а) $p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) + p_3(x; y)$

Сложим многочлены $p_1$, $p_2$ и $p_3$:

$p(x; y) = (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3) + (20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3) + (10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3)$

Сгруппируем и сложим коэффициенты при подобных слагаемых:

Для $x^3$: $27 + 20 + 10 = 57$

Для $x^2y$: $-27 - 15 + 12 = -30$

Для $xy^2$: $9 + 4 - 5 = 8$

Для $y^3$: $-1 - 3 + 1 = -3$

Результат:

$p(x; y) = 57x^3 - 30x^2y + 8xy^2 - 3y^3$

Ответ: $p(x; y) = 57x^3 - 30x^2y + 8xy^2 - 3y^3$

б) $p(x; y) = p_1(x; y) - p_2(x; y) + p_3(x; y)$

Выполним действия, раскрыв скобки и изменив знаки у членов многочлена $p_2$ на противоположные:

$p(x; y) = (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3) - (20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3) + (10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 - 20x^3 + 15x^2y - 4xy^2 + 3y^3 + 10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3$

Сгруппируем и сложим коэффициенты при подобных слагаемых:

Для $x^3$: $27 - 20 + 10 = 17$

Для $x^2y$: $-27 + 15 + 12 = 0$

Для $xy^2$: $9 - 4 - 5 = 0$

Для $y^3$: $-1 + 3 + 1 = 3$

Результат:

$p(x; y) = 17x^3 + 0 \cdot x^2y + 0 \cdot xy^2 + 3y^3 = 17x^3 + 3y^3$

Ответ: $p(x; y) = 17x^3 + 3y^3$

в) $p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) - p_3(x; y)$

Выполним действия, раскрыв скобки и изменив знаки у членов многочлена $p_3$ на противоположные:

$p(x; y) = (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3) + (20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3) - (10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 + 20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3 - 10x^3 - 12x^2y + 5xy^2 - y^3$

Сгруппируем и сложим коэффициенты при подобных слагаемых:

Для $x^3$: $27 + 20 - 10 = 37$

Для $x^2y$: $-27 - 15 - 12 = -54$

Для $xy^2$: $9 + 4 + 5 = 18$

Для $y^3$: $-1 - 3 - 1 = -5$

Результат:

$p(x; y) = 37x^3 - 54x^2y + 18xy^2 - 5y^3$

Ответ: $p(x; y) = 37x^3 - 54x^2y + 18xy^2 - 5y^3$

г) $p(x; y) = p_1(x; y) - p_2(x; y) - p_3(x; y)$

Выполним действия, раскрыв скобки и изменив знаки у членов многочленов $p_2$ и $p_3$ на противоположные:

$p(x; y) = (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3) - (20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3) - (10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 - 20x^3 + 15x^2y - 4xy^2 + 3y^3 - 10x^3 - 12x^2y + 5xy^2 - y^3$

Сгруппируем и сложим коэффициенты при подобных слагаемых:

Для $x^3$: $27 - 20 - 10 = -3$

Для $x^2y$: $-27 + 15 - 12 = -24$

Для $xy^2$: $9 - 4 + 5 = 10$

Для $y^3$: $-1 + 3 - 1 = 1$

Результат:

$p(x; y) = -3x^3 - 24x^2y + 10xy^2 + y^3$

Ответ: $p(x; y) = -3x^3 - 24x^2y + 10xy^2 + y^3$