Страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Установите, какие из данных выражений являются многочленами:

29.1

а) $3a + 4b$;

б) $5x^2 - 3y^2$;

в) $5(5x^2 - 12y^2)$;

г) $(a + 1)(b - 2)$.

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое является суммой одного или нескольких одночленов. Одночлен, в свою очередь, — это произведение числа (коэффициента) и переменных, возведенных в неотрицательные целые степени. Чтобы определить, является ли выражение многочленом, нужно проверить, можно ли его представить в виде суммы одночленов.

а) Выражение $3a + 4b$ является суммой двух одночленов: $3a$ и $4b$. В каждом одночлене переменные ($a$ и $b$) находятся в первой степени, что является неотрицательной целой степенью. Следовательно, данное выражение является многочленом.
Ответ: является многочленом.

б) Выражение $5x^2 - 3y^2$ представляет собой алгебраическую сумму двух одночленов: $5x^2$ и $-3y^2$. В каждом одночлене переменные ($x$ и $y$) возведены во вторую степень, что является неотрицательной целой степенью. Следовательно, данное выражение является многочленом.
Ответ: является многочленом.

в) Выражение $5(5x^2 - 12y^2)$ можно преобразовать, раскрыв скобки с помощью распределительного закона умножения:
$5(5x^2 - 12y^2) = 5 \cdot 5x^2 - 5 \cdot 12y^2 = 25x^2 - 60y^2$.
В результате мы получили выражение, которое является суммой двух одночленов. Поскольку исходное выражение тождественно равно многочлену, оно также является многочленом.
Ответ: является многочленом.

г) Выражение $(a + 1)(b - 2)$ является произведением двух двучленов. Раскроем скобки, чтобы представить его в виде суммы одночленов:
$(a + 1)(b - 2) = a \cdot b + a \cdot (-2) + 1 \cdot b + 1 \cdot (-2) = ab - 2a + b - 2$.
В результате мы получили сумму четырех одночленов: $ab, -2a, b$ и $-2$. Так как исходное выражение тождественно равно многочлену, оно также является многочленом.
Ответ: является многочленом.

Таким образом, все представленные в задании выражения являются многочленами.

29.2 a) $5x^2 - 6x^2 + \frac{1}{x};$

б) $\frac{3a^2b}{4ab^2};$

В) $\frac{b^2}{4} + 12z^2 - \frac{ab}{5};$

Г) $0,3p^2 + 13p - 1.$

Чтобы определить, является ли выражение многочленом, необходимо проверить, состоит ли оно из суммы одночленов. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных (целых неотрицательных) степеней. Выражение не является многочленом, если оно содержит операцию деления на переменную.

Рассмотрим выражение $5x^2 - 6x^2 + \frac{1}{x}$. Сначала приведем подобные слагаемые: $5x^2 - 6x^2 = -x^2$. Выражение примет вид: $-x^2 + \frac{1}{x}$. Этот результат содержит член $\frac{1}{x}$ (или $x^{-1}$), что является делением на переменную $x$. Поскольку многочлены не могут содержать переменных в знаменателе (или в отрицательной степени), данное выражение не является многочленом.

Ответ: выражение не является многочленом.

Рассмотрим выражение $\frac{3a^2b}{4ab^2}$. Упростим эту алгебраическую дробь, сократив общие множители в числителе и знаменателе: $\frac{3a^2b}{4ab^2} = \frac{3 \cdot a \cdot a \cdot b}{4 \cdot a \cdot b \cdot b} = \frac{3a}{4b}$. В полученном выражении присутствует деление на переменную $b$, поэтому исходное выражение не является многочленом.

Ответ: выражение не является многочленом.

Рассмотрим выражение $\frac{b^2}{4} + 12z^2 - \frac{ab}{5}$. Его можно переписать в виде суммы одночленов: $\frac{1}{4}b^2 + 12z^2 - \frac{1}{5}ab$. Каждый из трех членов этой суммы ($\frac{1}{4}b^2$, $12z^2$ и $-\frac{1}{5}ab$) является произведением числового коэффициента и переменных в целой неотрицательной степени. Деления на переменные нет. Следовательно, данное выражение является многочленом.

Ответ: выражение является многочленом.

Рассмотрим выражение $0,3p^2 + 13p - 1$. Это выражение представляет собой сумму трех одночленов: $0,3p^2$, $13p$ и $-1$. Все переменные ($p$) возведены в целые неотрицательные степени (2, 1 и 0 соответственно). Деления на переменную нет. Таким образом, данное выражение является многочленом.

Ответ: выражение является многочленом.

29.3 a) $3x^2 + 5y + \frac{7}{c};$

Б) $\frac{a^8}{4} - \frac{b^6}{5} + \frac{c^4}{7} + \frac{d^3}{9};$

В) $9x^3 - 4y^2 - 5;$

Г) $\frac{10}{z^5} + \frac{2}{z^3} + \frac{5}{z^2} - \frac{11}{z}.$

а) Многочлен — это сумма одночленов. Одночлен не может содержать деления на переменную. В выражении $3x^2 + 5y + \frac{7}{c}$ третье слагаемое, $\frac{7}{c}$, содержит деление на переменную $c$. Следовательно, это слагаемое не является одночленом, а значит и всё выражение не является многочленом.
Ответ: не является многочленом.

б) Выражение $\frac{a^8}{4} - \frac{b^6}{5} + \frac{c^4}{7} + \frac{d^3}{9}$ является многочленом. Его можно представить в виде суммы одночленов: $\frac{1}{4}a^8 + (-\frac{1}{5}b^6) + \frac{1}{7}c^4 + \frac{1}{9}d^3$. Каждый член этого выражения является произведением числового коэффициента и переменной в натуральной степени. Деление на число (константу) допустимо для одночленов.
Ответ: является многочленом.

в) Выражение $9x^3 - 4y^2 - 5$ является многочленом. Оно состоит из суммы одночленов: $9x^3$, $-4y^2$ и $-5$. Все показатели степеней переменных ($3$ и $2$) являются натуральными числами. Свободный член $-5$ также является одночленом, так как его можно представить в виде $-5x^0$.
Ответ: является многочленом.

г) Выражение $\frac{10}{z^5} + \frac{2}{z^3} + \frac{5}{z^2} - \frac{11}{z}$ не является многочленом. Каждое слагаемое в нем содержит деление на переменную $z$. Данное выражение можно переписать в виде $10z^{-5} + 2z^{-3} + 5z^{-2} - 11z^{-1}$. Так как показатели степеней у переменной $z$ являются отрицательными числами, ни один из членов выражения не является одночленом.
Ответ: не является многочленом.

29.4 Даны одночлены: $5a$; $-4ab$; $8a^2$; $12a$; $-2,5ab$; $-a^2$. Составьте из них:

а) многочлен, в котором нет подобных членов;

б) многочлен, в котором есть подобные члены;

в) два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, используя при этом все данные одночлены;

г) выражения, которые не являются многочленами.

Для решения задачи сначала определим подобные члены среди данных одночленов: $5a$; $-4ab$; $8a^2$; $12a$; $-2.5ab$; $-a^2$.

Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью. Сгруппируем их:

• С буквенной частью $a$: $5a$ и $12a$.
• С буквенной частью $ab$: $-4ab$ и $-2.5ab$.
• С буквенной частью $a^2$: $8a^2$ и $-a^2$.

Теперь составим выражения согласно пунктам задания.

а) многочлен, в котором нет подобных членов

Чтобы в многочлене не было подобных членов, нужно, чтобы все его члены имели разную буквенную часть. Для этого выберем по одному одночлену из каждой группы подобных членов. Например, возьмем $5a$, $-4ab$ и $8a^2$. Сложив их, получим многочлен.

Ответ: $5a - 4ab + 8a^2$

б) многочлен, в котором есть подобные члены

Чтобы в многочлене были подобные члены, нужно включить в него как минимум два одночлена с одинаковой буквенной частью. Например, возьмем $5a$ и $12a$. Можно добавить к ним и любой другой одночлен, например, $-a^2$.

Ответ: $5a + 12a - a^2$

в) два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, используя при этом все данные одночлены

Нужно разделить все шесть данных одночленов на две группы так, чтобы в каждой группе не было подобных членов. Это означает, что два одночлена с одинаковой буквенной частью должны оказаться в разных многочленах.

Возьмем в первый многочлен по одному представителю из каждой пары подобных членов: $5a$, $-4ab$ и $8a^2$.

Первый многочлен: $5a - 4ab + 8a^2$.

Оставшиеся одночлены: $12a$, $-2.5ab$ и $-a^2$ — образуют второй многочлен.

Второй многочлен: $12a - 2.5ab - a^2$.

В каждом из полученных многочленов нет подобных членов, и при этом использованы все данные одночлены.

Ответ: Первый многочлен: $5a - 4ab + 8a^2$. Второй многочлен: $12a - 2.5ab - a^2$.

г) выражения, которые не являются многочленами

Многочлен — это сумма одночленов. Выражение, которое содержит деление на переменную, не является многочленом. Мы можем составить такие выражения, используя данные одночлены и операцию деления.

Например, разделим один одночлен на другой: $5a : (8a^2) = \frac{5a}{8a^2} = \frac{5}{8a}$.

Или разделим многочлен на одночлен: $(12a - 4ab) : (-a^2) = \frac{12a - 4ab}{-a^2}$.

Оба этих выражения содержат переменную в знаменателе и не являются многочленами.

Ответ: $\frac{5a}{8a^2}$ и $(12a - 2.5ab) : (-4ab)$.