Страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

27.11 Можно ли разделить одночлен $24a^3b^4c^5$ на одночлен:

а) $-2abcd$;

б) $18a^2b^2c^2$;

в) $12a^3b$;

г) $3a^3b^5c^4?$

Для того чтобы один одночлен можно было разделить на другой так, чтобы в результате снова получился одночлен, необходимо, чтобы выполнялись два условия:

1. Каждая переменная, входящая в состав делителя, должна также входить и в состав делимого.
2. Показатель степени каждой переменной в делимом должен быть не меньше показателя степени этой же переменной в делителе.

В данной задаче делимое — это одночлен $24a^3b^4c^5$. Проверим каждый случай.

а) $-2abcd$

Делитель $-2abcd$ содержит переменную $d$, которой нет в делимом $24a^3b^4c^5$. Следовательно, первое условие не выполняется. При попытке деления переменная $d$ окажется в знаменателе:

$\frac{24a^3b^4c^5}{-2abcd} = -\frac{12a^{3-1}b^{4-1}c^{5-1}}{d} = -\frac{12a^2b^3c^4}{d}$

Так как результат содержит переменную в знаменателе, он не является одночленом. Разделить нельзя.

Ответ: Нет

б) $18a^2b^2c^2$

Проверим условия. Все переменные делителя ($a, b, c$) входят в состав делимого. Сравним показатели степеней:

• Для переменной $a$: $3 \ge 2$ (верно).
• Для переменной $b$: $4 \ge 2$ (верно).
• Для переменной $c$: $5 \ge 2$ (верно).

Все условия выполняются. Выполним деление:

$\frac{24a^3b^4c^5}{18a^2b^2c^2} = \frac{24}{18}a^{3-2}b^{4-2}c^{5-2} = \frac{4}{3}ab^2c^3$

Результат является одночленом (хоть и с дробным коэффициентом, что допустимо). Разделить можно.

Ответ: Да

в) $12a^3b$

Проверим условия. Все переменные делителя ($a, b$) входят в состав делимого. Сравним показатели степеней:

• Для переменной $a$: $3 \ge 3$ (верно).
• Для переменной $b$: $4 \ge 1$ (верно).

Все условия выполняются. Выполним деление:

$\frac{24a^3b^4c^5}{12a^3b} = \frac{24}{12}a^{3-3}b^{4-1}c^5 = 2a^0b^3c^5 = 2b^3c^5$

Результат является одночленом. Разделить можно.

Ответ: Да

г) $3a^3b^5c^4$

Проверим условия. Все переменные делителя ($a, b, c$) входят в состав делимого. Сравним показатели степеней:

• Для переменной $a$: $3 \ge 3$ (верно).
• Для переменной $b$: $4 \ge 5$ (неверно, так как $4 < 5$).
• Для переменной $c$: $5 \ge 4$ (верно).

Поскольку для переменной $b$ показатель степени в делимом меньше, чем в делителе, второе условие не выполняется. При делении переменная $b$ окажется в знаменателе:

$\frac{24a^3b^4c^5}{3a^3b^5c^4} = \frac{24}{3}a^{3-3}b^{4-5}c^{5-4} = 8a^0b^{-1}c^1 = \frac{8c}{b}$

Результат не является одночленом. Разделить нельзя.

Ответ: Нет

27.12 Вместо символа * поставьте такой одночлен, чтобы получилось верное равенство:

а) $30x^5y^6z^7 : * = 5x^3y^2z^6;$

б) $* : (5a^3b^4c^{10}) = 15a^5b^7c^{21};$

в) $* : (p^3m^2q^7) = p^8m^4q^9;$

г) $d^2n^3z^{10} : * = dn^2z^5.$

а) В данном равенстве $30x^5y^6z^7 : * = 5x^3y^2z^6$ неизвестный одночлен (*) является делителем. Чтобы найти делитель, необходимо делимое ($30x^5y^6z^7$) разделить на частное ($5x^3y^2z^6$).
$* = \frac{30x^5y^6z^7}{5x^3y^2z^6}$
Для этого разделим коэффициенты и вычтем показатели степеней у переменных с одинаковыми основаниями:
$* = (\frac{30}{5}) x^{5-3} y^{6-2} z^{7-6} = 6x^2y^4z^1 = 6x^2y^4z$
Ответ: $6x^2y^4z$.

б) В равенстве $* : (5a^3b^4c^{10}) = 15a^5b^7c^{21}$ неизвестный одночлен (*) является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное ($15a^5b^7c^{21}$) умножить на делитель ($5a^3b^4c^{10}$).
$* = (15a^5b^7c^{21}) \cdot (5a^3b^4c^{10})$
Для этого перемножим коэффициенты и сложим показатели степеней у переменных с одинаковыми основаниями:
$* = (15 \cdot 5) a^{5+3} b^{7+4} c^{21+10} = 75a^8b^{11}c^{31}$
Ответ: $75a^8b^{11}c^{31}$.

в) В равенстве $* : (p^3m^2q^7) = p^8m^4q^9$ неизвестный одночлен (*) является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное ($p^8m^4q^9$) умножить на делитель ($p^3m^2q^7$).
$* = (p^8m^4q^9) \cdot (p^3m^2q^7)$
Сложим показатели степеней у переменных с одинаковыми основаниями (коэффициент равен 1):
$* = p^{8+3} m^{4+2} q^{9+7} = p^{11}m^6q^{16}$
Ответ: $p^{11}m^6q^{16}$.

г) В равенстве $d^2n^3z^{10} : * = dn^2z^5$ неизвестный одночлен (*) является делителем. Чтобы найти делитель, необходимо делимое ($d^2n^3z^{10}$) разделить на частное ($dn^2z^5$).
$* = \frac{d^2n^3z^{10}}{dn^2z^5}$
Вычтем показатели степеней у переменных с одинаковыми основаниями (коэффициент равен 1):
$* = d^{2-1} n^{3-2} z^{10-5} = d^1n^1z^5 = dnz^5$
Ответ: $dnz^5$.

27.13 а) $(5a^2b^2)^3 : (5ab)^2;$

б) $(10x^3y^3)^4 : (2x^4y^3)^2;$

в) $(49z^{10}t^{14}) : (7zt)^0;$

г) $(-x^2y^3z)^4 : (xyz).$

а) Чтобы решить данный пример, необходимо выполнить деление одночленов. Для этого сначала упростим каждый из них, возведя в степень.

1. Возведем в куб первый одночлен, используя правило возведения в степень произведения $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(5a^2b^2)^3 = 5^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^2)^3 = 125 \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 125a^6b^6$.

2. Возведем в квадрат второй одночлен:

$(5ab)^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 25a^2b^2$.

3. Теперь выполним деление полученных одночленов:

$125a^6b^6 : (25a^2b^2) = \frac{125a^6b^6}{25a^2b^2}$.

Разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{125}{25} \cdot a^{6-2} \cdot b^{6-2} = 5a^4b^4$.

Ответ: $5a^4b^4$.

б) Решим пример по аналогии с предыдущим, выполнив возведение в степень и последующее деление.

1. Возведем в четвертую степень первый одночлен:

$(10x^3y^3)^4 = 10^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^3)^4 = 10000 \cdot x^{3 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = 10000x^{12}y^{12}$.

2. Возведем в квадрат второй одночлен:

$(2x^4y^2)^2 = 2^2 \cdot (x^4)^2 \cdot (y^2)^2 = 4 \cdot x^{4 \cdot 2} \cdot y^{2 \cdot 2} = 4x^8y^4$.

3. Выполним деление:

$10000x^{12}y^{12} : (4x^8y^4) = \frac{10000x^{12}y^{12}}{4x^8y^4}$.

Разделим коэффициенты и степени:

$\frac{10000}{4} \cdot x^{12-8} \cdot y^{12-4} = 2500x^4y^8$.

Ответ: $2500x^4y^8$.

в) Для решения данного примера необходимо использовать свойство нулевой степени.

1. Делимое $(49z^{10}t^{14})$ уже в стандартном виде.

2. Упростим делитель $(7zt)^0$. Любое ненулевое выражение, возведенное в нулевую степень, равно единице: $a^0=1$ (при $a \neq 0$).

Таким образом, $(7zt)^0 = 1$, при условии что $z \neq 0$ и $t \neq 0$.

3. Выполним деление:

$(49z^{10}t^{14}) : 1 = 49z^{10}t^{14}$.

Ответ: $49z^{10}t^{14}$.

г) Решим пример, последовательно выполняя возведение в степень и деление.

1. Возведем в четвертую степень первый одночлен. Так как степень четная (4), знак "минус" исчезнет:

$(-x^2y^3z)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^3)^4 \cdot z^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} \cdot z^4 = x^8y^{12}z^4$.

2. Делитель $(xyz)$ уже в стандартном виде.

3. Выполним деление полученных одночленов:

$x^8y^{12}z^4 : (xyz) = \frac{x^8y^{12}z^4}{x^1y^1z^1}$.

Используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$x^{8-1}y^{12-1}z^{4-1} = x^7y^{11}z^3$.

Ответ: $x^7y^{11}z^3$.

27.14 a) $(2m^2n^2)^4 : (4mn)^2;$

б) $55p^3q^4 : (5pq)^0;$

В) $(-x^2y^3z^4)^5 : (-xyz)^6;$

Г) $(-5ac^3d)^3 : (5cd)^2.$

а) Чтобы решить выражение $(2m^2n^2)^4 : (4mn)^2$, необходимо сначала упростить каждый одночлен, возведя его в степень, а затем выполнить деление.
1. Возводим в степень первый одночлен, используя правило возведения произведения в степень $(abc)^n=a^nb^nc^n$ и правило возведения степени в степень $(a^x)^y=a^{xy}$:
$(2m^2n^2)^4 = 2^4 \cdot (m^2)^4 \cdot (n^2)^4 = 16 \cdot m^{2 \cdot 4} \cdot n^{2 \cdot 4} = 16m^8n^8$.
2. Возводим в степень второй одночлен:
$(4mn)^2 = 4^2 \cdot m^2 \cdot n^2 = 16m^2n^2$.
3. Выполняем деление полученных выражений, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$:
$16m^8n^8 : 16m^2n^2 = \frac{16m^8n^8}{16m^2n^2} = \frac{16}{16} \cdot m^{8-2} \cdot n^{8-2} = 1 \cdot m^6 \cdot n^6 = m^6n^6$.

Ответ: $m^6n^6$

б) Рассмотрим выражение $55p^3q^4 : (5pq)^0$.
1. Упростим делитель $(5pq)^0$. Любое ненулевое число или выражение, возведенное в нулевую степень, равно единице. Предполагая, что $p \neq 0$ и $q \neq 0$, получаем:
$(5pq)^0 = 1$.
2. Теперь выполним деление:
$55p^3q^4 : 1 = 55p^3q^4$.

Ответ: $55p^3q^4$

в) Решим выражение $(-x^2y^3z^4)^5 : (-xyz)^6$.
1. Упростим делимое $(-x^2y^3z^4)^5$. Так как показатель степени 5 нечетный, знак минус сохранится:
$(-x^2y^3z^4)^5 = (-1)^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^3)^5 \cdot (z^4)^5 = -x^{2 \cdot 5}y^{3 \cdot 5}z^{4 \cdot 5} = -x^{10}y^{15}z^{20}$.
2. Упростим делитель $(-xyz)^6$. Так как показатель степени 6 четный, знак минус исчезнет (превратится в плюс):
$(-xyz)^6 = (-1)^6 \cdot x^6 \cdot y^6 \cdot z^6 = 1 \cdot x^6y^6z^6 = x^6y^6z^6$.
3. Выполним деление:
$(-x^{10}y^{15}z^{20}) : (x^6y^6z^6) = \frac{-x^{10}y^{15}z^{20}}{x^6y^6z^6} = -x^{10-6}y^{15-6}z^{20-6} = -x^4y^9z^{14}$.

Ответ: $-x^4y^9z^{14}$

г) Решим выражение $(-5ac^3d)^3 : (5cd)^2$.
1. Упростим делимое $(-5ac^3d)^3$. Показатель степени 3 нечетный, поэтому знак минус сохраняется:
$(-5ac^3d)^3 = (-5)^3 \cdot a^3 \cdot (c^3)^3 \cdot d^3 = -125a^3c^{3 \cdot 3}d^3 = -125a^3c^9d^3$.
2. Упростим делитель $(5cd)^2$:
$(5cd)^2 = 5^2 \cdot c^2 \cdot d^2 = 25c^2d^2$.
3. Выполним деление:
$(-125a^3c^9d^3) : (25c^2d^2) = \frac{-125a^3c^9d^3}{25c^2d^2} = \frac{-125}{25} \cdot a^3 \cdot c^{9-2} \cdot d^{3-2} = -5a^3c^7d^1 = -5a^3c^7d$.

Ответ: $-5a^3c^7d$

27.15 a) $\frac{(2cy^3)^2 \cdot 16c^5y}{(4c^2y)^3};$

B) $\frac{(3x^2c^3)^2 \cdot 27x^{15}c^4}{(3x^2c)^5};$

б) $\frac{(9a^3b^4)^3}{(3a^2b)^2 \cdot 27a^4b^9};$

Г) $\frac{(4a^3b^3)^2 \cdot (-a^2b)^3}{(-2a^3b^2)^3}.$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{(2cy^3)^2 \cdot 16c^5y}{(4c^2y)^3}$, выполним действия по шагам. Сначала возведем в степень выражения в скобках в числителе и знаменателе, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$.
1. Упростим числитель:
$(2cy^3)^2 \cdot 16c^5y = (2^2 \cdot c^2 \cdot (y^3)^2) \cdot 16c^5y = (4c^2y^6) \cdot 16c^5y$.
Теперь перемножим одночлены, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$4 \cdot 16 \cdot c^2 \cdot c^5 \cdot y^6 \cdot y^1 = 64 \cdot c^{2+5} \cdot y^{6+1} = 64c^7y^7$.
2. Упростим знаменатель:
$(4c^2y)^3 = 4^3 \cdot (c^2)^3 \cdot y^3 = 64c^6y^3$.
3. Разделим числитель на знаменатель, используя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{64c^7y^7}{64c^6y^3} = \frac{64}{64} \cdot c^{7-6} \cdot y^{7-3} = 1 \cdot c^1 \cdot y^4 = cy^4$.
Ответ: $cy^4$

б) Упростим выражение $\frac{(9a^3b^4)^3}{(3a^2b)^2 \cdot 27a^4b^9}$.
1. Упростим числитель, возведя одночлен в степень:
$(9a^3b^4)^3 = 9^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^4)^3 = 729a^9b^{12}$.
2. Упростим знаменатель. Сначала возведем в степень, затем выполним умножение:
$(3a^2b)^2 \cdot 27a^4b^9 = (3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2) \cdot 27a^4b^9 = (9a^4b^2) \cdot 27a^4b^9$.
Перемножим полученные одночлены:
$9 \cdot 27 \cdot a^4 \cdot a^4 \cdot b^2 \cdot b^9 = 243 \cdot a^{4+4} \cdot b^{2+9} = 243a^8b^{11}$.
3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{729a^9b^{12}}{243a^8b^{11}} = \frac{729}{243} \cdot a^{9-8} \cdot b^{12-11} = 3 \cdot a^1 \cdot b^1 = 3ab$.
Ответ: $3ab$

в) Упростим выражение $\frac{(3x^2c^3)^2 \cdot 27x^{15}c^4}{(3x^2c)^5}$.
1. Упростим числитель:
$(3x^2c^3)^2 \cdot 27x^{15}c^4 = (3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (c^3)^2) \cdot 27x^{15}c^4 = (9x^4c^6) \cdot 27x^{15}c^4$.
$9 \cdot 27 \cdot x^4 \cdot x^{15} \cdot c^6 \cdot c^4 = 243 \cdot x^{4+15} \cdot c^{6+4} = 243x^{19}c^{10}$.
2. Упростим знаменатель:
$(3x^2c)^5 = 3^5 \cdot (x^2)^5 \cdot c^5 = 243x^{10}c^5$.
3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{243x^{19}c^{10}}{243x^{10}c^5} = \frac{243}{243} \cdot x^{19-10} \cdot c^{10-5} = 1 \cdot x^9 \cdot c^5 = x^9c^5$.
Ответ: $x^9c^5$

г) Упростим выражение $\frac{(4a^3b^3)^2 \cdot (-a^2b)^3}{(-2a^3b^2)^3}$.
1. Упростим числитель:
$(4a^3b^3)^2 \cdot (-a^2b)^3 = (4^2(a^3)^2(b^3)^2) \cdot ((-1)^3(a^2)^3b^3) = (16a^6b^6) \cdot (-1a^6b^3)$.
$16 \cdot (-1) \cdot a^6 \cdot a^6 \cdot b^6 \cdot b^3 = -16 \cdot a^{6+6} \cdot b^{6+3} = -16a^{12}b^9$.
2. Упростим знаменатель:
$(-2a^3b^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^2)^3 = -8a^9b^6$.
3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{-16a^{12}b^9}{-8a^9b^6} = \frac{-16}{-8} \cdot a^{12-9} \cdot b^{9-6} = 2 \cdot a^3 \cdot b^3 = 2a^3b^3$.
Ответ: $2a^3b^3$

27.16 a) $\frac{(-4x^2y^3)^3 \cdot (-5x^2y^4)^2}{(-10x^3y^5)^0}$;

б) $\frac{(-2a^3x^5)^4 \cdot (-9a^3x^5)^2}{(-6a^4x^7)^0}$.

а) $\frac{(-4x^2y^3)^3 \cdot (-5x^2y^4)^2}{(-10x^3y^5)^0}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Во-первых, любое выражение (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Поэтому знаменатель дроби $(-10x^3y^5)^0 = 1$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$).

Теперь упростим числитель. Для этого используем следующие правила: 1) при возведении произведения в степень, в эту степень возводится каждый множитель: $(abc)^n = a^n b^n c^n$; 2) при возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Возведем в степень первый множитель в числителе: $(-4x^2y^3)^3 = (-4)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3)^3 = -64x^{2 \cdot 3}y^{3 \cdot 3} = -64x^6y^9$.

Возведем в степень второй множитель: $(-5x^2y^4)^2 = (-5)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^4)^2 = 25x^{2 \cdot 2}y^{4 \cdot 2} = 25x^4y^8$.

Далее, перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(-64x^6y^9) \cdot (25x^4y^8) = (-64 \cdot 25) \cdot (x^6 \cdot x^4) \cdot (y^9 \cdot y^8) = -1600x^{6+4}y^{9+8} = -1600x^{10}y^{17}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{-1600x^{10}y^{17}}{1} = -1600x^{10}y^{17}$.

Ответ: $-1600x^{10}y^{17}$

б) $\frac{(-2a^3x^5)^4 \cdot (-9a^3x^5)^2}{(-6a^4x^7)^0}$

Решение этого примера аналогично предыдущему. Сначала заметим, что знаменатель равен 1, так как любое ненулевое выражение в нулевой степени равно 1: $(-6a^4x^7)^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$ и $x \neq 0$).

Теперь упростим числитель. Возведем каждый множитель в соответствующую степень, используя правила $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Первый множитель: $(-2a^3x^5)^4 = (-2)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (x^5)^4 = 16a^{3 \cdot 4}x^{5 \cdot 4} = 16a^{12}x^{20}$.

Второй множитель: $(-9a^3x^5)^2 = (-9)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (x^5)^2 = 81a^{3 \cdot 2}x^{5 \cdot 2} = 81a^6x^{10}$.

Далее, перемножим полученные одночлены, складывая показатели степеней с одинаковыми основаниями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(16a^{12}x^{20}) \cdot (81a^6x^{10}) = (16 \cdot 81) \cdot (a^{12} \cdot a^6) \cdot (x^{20} \cdot x^{10}) = 1296a^{12+6}x^{20+10} = 1296a^{18}x^{30}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1296a^{18}x^{30}}{1} = 1296a^{18}x^{30}$.

Ответ: $1296a^{18}x^{30}$

27.17 a) $\frac{(-6a^5x^9)^3}{(4a^3x^4)^3 \cdot (-2ax^2)^5}$;

б) $\frac{(-2a^4b^3)^3 \cdot (3a^3b^9)^2}{(-2a^2b^3)^8}$.

а)

Упростим данное выражение: $ \frac{(-6a^5x^9)^3}{(4a^3x^4)^3 \cdot (-2ax^2)^5} $.

Для упрощения будем использовать свойства степеней: $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $.

1. Упростим числитель, возведя каждый множитель в куб:

$ (-6a^5x^9)^3 = (-6)^3 \cdot (a^5)^3 \cdot (x^9)^3 = -216 \cdot a^{5 \cdot 3} \cdot x^{9 \cdot 3} = -216a^{15}x^{27} $.

2. Упростим знаменатель. Он состоит из произведения двух выражений в степенях. Упростим каждое из них:

Первый множитель знаменателя: $ (4a^3x^4)^3 = 4^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (x^4)^3 = 64 \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot x^{4 \cdot 3} = 64a^9x^{12} $.

Второй множитель знаменателя: $ (-2ax^2)^5 = (-2)^5 \cdot a^5 \cdot (x^2)^5 = -32 \cdot a^5 \cdot x^{2 \cdot 5} = -32a^5x^{10} $.

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти итоговый знаменатель:

$ (64a^9x^{12}) \cdot (-32a^5x^{10}) = (64 \cdot -32) \cdot (a^9 \cdot a^5) \cdot (x^{12} \cdot x^{10}) = -2048a^{9+5}x^{12+10} = -2048a^{14}x^{22} $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь и выполним сокращение:

$ \frac{-216a^{15}x^{27}}{-2048a^{14}x^{22}} $

Сократим числовые коэффициенты. Так как и в числителе, и в знаменателе стоят отрицательные числа, итоговый знак будет положительным. Найдем наибольший общий делитель для 216 и 2048. $ 216 = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 $, $ 2048 = 2^{11} $. НОД(216, 2048) = 8.

$ \frac{216}{2048} = \frac{216 \div 8}{2048 \div 8} = \frac{27}{256} $.

Сократим переменные, используя свойство $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{a^{15}}{a^{14}} = a^{15-14} = a^1 = a $

$ \frac{x^{27}}{x^{22}} = x^{27-22} = x^5 $

Объединяем все части вместе и получаем конечный результат.

Ответ: $ \frac{27}{256}ax^5 $.

б)

Упростим данное выражение: $ \frac{(-2a^4b^3)^3 \cdot (3a^3b^9)^2}{(-2a^2b^3)^8} $.

1. Упростим числитель, который является произведением двух одночленов в степенях:

Первый множитель: $ (-2a^4b^3)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^3)^3 = -8 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3} = -8a^{12}b^9 $.

Второй множитель: $ (3a^3b^9)^2 = 3^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^9)^2 = 9 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{9 \cdot 2} = 9a^6b^{18} $.

Перемножим эти два выражения:

$ (-8a^{12}b^9) \cdot (9a^6b^{18}) = (-8 \cdot 9) \cdot (a^{12} \cdot a^6) \cdot (b^9 \cdot b^{18}) = -72a^{12+6}b^{9+18} = -72a^{18}b^{27} $.

2. Упростим знаменатель:

$ (-2a^2b^3)^8 = (-2)^8 \cdot (a^2)^8 \cdot (b^3)^8 = 256 \cdot a^{2 \cdot 8} \cdot b^{3 \cdot 8} = 256a^{16}b^{24} $. Так как степень 8 четная, отрицательный знак у коэффициента -2 исчезает.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь и выполним деление:

$ \frac{-72a^{18}b^{27}}{256a^{16}b^{24}} $

Сократим числовые коэффициенты. Найдем НОД(72, 256). $ 72 = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 $, $ 256 = 2^8 $. НОД(72, 256) = 8.

$ \frac{-72}{256} = -\frac{72 \div 8}{256 \div 8} = -\frac{9}{32} $.

Сократим переменные:

$ \frac{a^{18}}{a^{16}} = a^{18-16} = a^2 $

$ \frac{b^{27}}{b^{24}} = b^{27-24} = b^3 $

Объединяем все части вместе.

Ответ: $ -\frac{9}{32}a^2b^3 $.

27.18 a) $ \frac{(3a^5b^3)^4 \cdot (2a^3b^2)^0}{(6a^4b^2)^5} $;

б) $ \frac{(10a^6x^5)^6}{(5a^9x^2)^4 \cdot (2a^9x^6)^0} $.

Дано выражение: $ \frac{(3a^5b^3)^4 \cdot (2a^3b^2)^0}{(6a^4b^2)^5} $.
Первым шагом упростим множитель, возведенный в нулевую степень. Согласно свойству степеней, любое ненулевое выражение в степени 0 равно 1, поэтому $(2a^3b^2)^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$).
Выражение примет вид: $ \frac{(3a^5b^3)^4}{(6a^4b^2)^5} $.
Далее, раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя правило возведения произведения в степень $((xy)^n = x^n y^n)$ и правило возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{mn})$:
Числитель: $(3a^5b^3)^4 = 3^4 \cdot (a^5)^4 \cdot (b^3)^4 = 81a^{20}b^{12}$.
Знаменатель: $(6a^4b^2)^5 = 6^5 \cdot (a^4)^5 \cdot (b^2)^5 = 7776a^{20}b^{10}$.
Теперь наша дробь выглядит так: $ \frac{81a^{20}b^{12}}{7776a^{20}b^{10}} $.
Произведем сокращение. Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $):
$ \frac{a^{20}}{a^{20}} = a^{20-20} = a^0 = 1 $
$ \frac{b^{12}}{b^{10}} = b^{12-10} = b^2 $
Теперь сократим числовые коэффициенты: $ \frac{81}{7776} $. Разложим числа на множители для удобства: $81 = 3^4$, а $7776 = 6^5 = (2 \cdot 3)^5 = 2^5 \cdot 3^5$.
$ \frac{3^4}{2^5 \cdot 3^5} = \frac{1}{2^5 \cdot 3^{5-4}} = \frac{1}{32 \cdot 3} = \frac{1}{96} $.
Объединив все результаты, получаем: $ \frac{1}{96} \cdot 1 \cdot b^2 = \frac{b^2}{96} $.
Ответ: $ \frac{b^2}{96} $.

Дано выражение: $ \frac{(10a^6x^5)^6}{(5a^9x^2)^4 \cdot (2a^9x^6)^0} $.
Сначала упростим множитель $(2a^9x^6)^0$. Любое ненулевое выражение, возведенное в степень 0, равно 1. Значит, $(2a^9x^6)^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$ и $x \neq 0$).
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{(10a^6x^5)^6}{(5a^9x^2)^4} $.
Применим правила возведения в степень к числителю и знаменателю ($ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $):
Числитель: $(10a^6x^5)^6 = 10^6 \cdot (a^6)^6 \cdot (x^5)^6 = 10^6 a^{36} x^{30}$.
Знаменатель: $(5a^9x^2)^4 = 5^4 \cdot (a^9)^4 \cdot (x^2)^4 = 5^4 a^{36} x^{8}$.
Подставим результаты в дробь: $ \frac{10^6 a^{36} x^{30}}{5^4 a^{36} x^{8}} $.
Теперь сократим дробь. Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $):
$ \frac{a^{36}}{a^{36}} = a^{36-36} = a^0 = 1 $
$ \frac{x^{30}}{x^{8}} = x^{30-8} = x^{22} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{10^6}{5^4} = \frac{(2 \cdot 5)^6}{5^4} = \frac{2^6 \cdot 5^6}{5^4} = 2^6 \cdot 5^{6-4} = 2^6 \cdot 5^2 = 64 \cdot 25 = 1600 $.
Объединим все части: $ 1600 \cdot 1 \cdot x^{22} = 1600x^{22} $.
Ответ: $ 1600x^{22} $.

27.19 Решите уравнение:

а) $\frac{(7x)^{11} \cdot (49x)^2 \cdot 7}{(7x^2)^3 \cdot (343x)^4} = 56;$

б) $\frac{(3x)^9 \cdot (9x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (27x)^3} = -96.$

а) $\frac{(7x)^{11} \cdot (49x)^2 \cdot 7}{(7x^2)^3 \cdot (343x)^4} = 56$

Для решения данного уравнения, сначала преобразуем все числовые коэффициенты в выражениях в степени числа 7. Мы знаем, что $49 = 7^2$ и $343 = 7^3$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\frac{(7x)^{11} \cdot (7^2x)^2 \cdot 7^1}{(7x^2)^3 \cdot (7^3x)^4} = 56$

Теперь применим свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$ для раскрытия скобок в числителе и знаменателе.

Преобразуем числитель:

$(7x)^{11} \cdot (7^2x)^2 \cdot 7^1 = (7^{11} \cdot x^{11}) \cdot ( (7^2)^2 \cdot x^2 ) \cdot 7^1 = (7^{11}x^{11}) \cdot (7^4x^2) \cdot 7^1 = 7^{11+4+1} \cdot x^{11+2} = 7^{16}x^{13}$

Преобразуем знаменатель:

$(7x^2)^3 \cdot (7^3x)^4 = (7^3 \cdot (x^2)^3) \cdot ((7^3)^4 \cdot x^4) = (7^3x^6) \cdot (7^{12}x^4) = 7^{3+12} \cdot x^{6+4} = 7^{15}x^{10}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{7^{16}x^{13}}{7^{15}x^{10}} = 56$

Упростим левую часть, используя свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$7^{16-15}x^{13-10} = 56$

$7^1x^3 = 56$

$7x^3 = 56$

Разделим обе части уравнения на 7:

$x^3 = \frac{56}{7}$

$x^3 = 8$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Область допустимых значений уравнения $x \neq 0$. Корень $x=2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=2$

б) $\frac{(3x)^9 \cdot (9x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (27x)^3} = -96$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем числовые коэффициенты в степени числа 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{(3x)^9 \cdot (3^2x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (3^3x)^3} = -96$

Применим свойства степеней для упрощения выражения.

Преобразуем числитель:

$(3x)^9 \cdot (3^2x^4)^3 \cdot x^2 = (3^9 \cdot x^9) \cdot ((3^2)^3 \cdot (x^4)^3) \cdot x^2 = (3^9x^9) \cdot (3^6x^{12}) \cdot x^2 = 3^{9+6} \cdot x^{9+12+2} = 3^{15}x^{23}$

Преобразуем знаменатель:

$(3x^3)^5 \cdot (3^3x)^3 = (3^5 \cdot (x^3)^5) \cdot ((3^3)^3 \cdot x^3) = (3^5x^{15}) \cdot (3^9x^3) = 3^{5+9} \cdot x^{15+3} = 3^{14}x^{18}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{3^{15}x^{23}}{3^{14}x^{18}} = -96$

Упростим левую часть:

$3^{15-14}x^{23-18} = -96$

$3^1x^5 = -96$

$3x^5 = -96$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^5 = \frac{-96}{3}$

$x^5 = -32$

Извлечем корень пятой степени из обеих частей:

$x = \sqrt[5]{-32}$

$x = -2$

Область допустимых значений уравнения $x \neq 0$. Корень $x=-2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=-2$