Номер 27.19, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами. Параграф 27. Деление одночлена на одночлен - номер 27.19, страница 125.

Условие.

27.19 Решите уравнение:

а) $\frac{(7x)^{11} \cdot (49x)^2 \cdot 7}{(7x^2)^3 \cdot (343x)^4} = 56;$

б) $\frac{(3x)^9 \cdot (9x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (27x)^3} = -96.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $\frac{(7x)^{11} \cdot (49x)^2 \cdot 7}{(7x^2)^3 \cdot (343x)^4} = 56$

Для решения данного уравнения, сначала преобразуем все числовые коэффициенты в выражениях в степени числа 7. Мы знаем, что $49 = 7^2$ и $343 = 7^3$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\frac{(7x)^{11} \cdot (7^2x)^2 \cdot 7^1}{(7x^2)^3 \cdot (7^3x)^4} = 56$

Теперь применим свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$ для раскрытия скобок в числителе и знаменателе.

Преобразуем числитель:

$(7x)^{11} \cdot (7^2x)^2 \cdot 7^1 = (7^{11} \cdot x^{11}) \cdot ( (7^2)^2 \cdot x^2 ) \cdot 7^1 = (7^{11}x^{11}) \cdot (7^4x^2) \cdot 7^1 = 7^{11+4+1} \cdot x^{11+2} = 7^{16}x^{13}$

Преобразуем знаменатель:

$(7x^2)^3 \cdot (7^3x)^4 = (7^3 \cdot (x^2)^3) \cdot ((7^3)^4 \cdot x^4) = (7^3x^6) \cdot (7^{12}x^4) = 7^{3+12} \cdot x^{6+4} = 7^{15}x^{10}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{7^{16}x^{13}}{7^{15}x^{10}} = 56$

Упростим левую часть, используя свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$7^{16-15}x^{13-10} = 56$

$7^1x^3 = 56$

$7x^3 = 56$

Разделим обе части уравнения на 7:

$x^3 = \frac{56}{7}$

$x^3 = 8$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Область допустимых значений уравнения $x \neq 0$. Корень $x=2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=2$

б) $\frac{(3x)^9 \cdot (9x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (27x)^3} = -96$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем числовые коэффициенты в степени числа 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{(3x)^9 \cdot (3^2x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (3^3x)^3} = -96$

Применим свойства степеней для упрощения выражения.

Преобразуем числитель:

$(3x)^9 \cdot (3^2x^4)^3 \cdot x^2 = (3^9 \cdot x^9) \cdot ((3^2)^3 \cdot (x^4)^3) \cdot x^2 = (3^9x^9) \cdot (3^6x^{12}) \cdot x^2 = 3^{9+6} \cdot x^{9+12+2} = 3^{15}x^{23}$

Преобразуем знаменатель:

$(3x^3)^5 \cdot (3^3x)^3 = (3^5 \cdot (x^3)^5) \cdot ((3^3)^3 \cdot x^3) = (3^5x^{15}) \cdot (3^9x^3) = 3^{5+9} \cdot x^{15+3} = 3^{14}x^{18}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{3^{15}x^{23}}{3^{14}x^{18}} = -96$

Упростим левую часть:

$3^{15-14}x^{23-18} = -96$

$3^1x^5 = -96$

$3x^5 = -96$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^5 = \frac{-96}{3}$

$x^5 = -32$

Извлечем корень пятой степени из обеих частей:

$x = \sqrt[5]{-32}$

$x = -2$

Область допустимых значений уравнения $x \neq 0$. Корень $x=-2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=-2$