Номер 27.17, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

27.17 a) $\frac{(-6a^5x^9)^3}{(4a^3x^4)^3 \cdot (-2ax^2)^5}$;

б) $\frac{(-2a^4b^3)^3 \cdot (3a^3b^9)^2}{(-2a^2b^3)^8}$.

а)

Упростим данное выражение: $ \frac{(-6a^5x^9)^3}{(4a^3x^4)^3 \cdot (-2ax^2)^5} $.

Для упрощения будем использовать свойства степеней: $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $.

1. Упростим числитель, возведя каждый множитель в куб:

$ (-6a^5x^9)^3 = (-6)^3 \cdot (a^5)^3 \cdot (x^9)^3 = -216 \cdot a^{5 \cdot 3} \cdot x^{9 \cdot 3} = -216a^{15}x^{27} $.

2. Упростим знаменатель. Он состоит из произведения двух выражений в степенях. Упростим каждое из них:

Первый множитель знаменателя: $ (4a^3x^4)^3 = 4^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (x^4)^3 = 64 \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot x^{4 \cdot 3} = 64a^9x^{12} $.

Второй множитель знаменателя: $ (-2ax^2)^5 = (-2)^5 \cdot a^5 \cdot (x^2)^5 = -32 \cdot a^5 \cdot x^{2 \cdot 5} = -32a^5x^{10} $.

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти итоговый знаменатель:

$ (64a^9x^{12}) \cdot (-32a^5x^{10}) = (64 \cdot -32) \cdot (a^9 \cdot a^5) \cdot (x^{12} \cdot x^{10}) = -2048a^{9+5}x^{12+10} = -2048a^{14}x^{22} $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь и выполним сокращение:

$ \frac{-216a^{15}x^{27}}{-2048a^{14}x^{22}} $

Сократим числовые коэффициенты. Так как и в числителе, и в знаменателе стоят отрицательные числа, итоговый знак будет положительным. Найдем наибольший общий делитель для 216 и 2048. $ 216 = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 $, $ 2048 = 2^{11} $. НОД(216, 2048) = 8.

$ \frac{216}{2048} = \frac{216 \div 8}{2048 \div 8} = \frac{27}{256} $.

Сократим переменные, используя свойство $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{a^{15}}{a^{14}} = a^{15-14} = a^1 = a $

$ \frac{x^{27}}{x^{22}} = x^{27-22} = x^5 $

Объединяем все части вместе и получаем конечный результат.

Ответ: $ \frac{27}{256}ax^5 $.

б)

Упростим данное выражение: $ \frac{(-2a^4b^3)^3 \cdot (3a^3b^9)^2}{(-2a^2b^3)^8} $.

1. Упростим числитель, который является произведением двух одночленов в степенях:

Первый множитель: $ (-2a^4b^3)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^3)^3 = -8 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3} = -8a^{12}b^9 $.

Второй множитель: $ (3a^3b^9)^2 = 3^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^9)^2 = 9 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{9 \cdot 2} = 9a^6b^{18} $.

Перемножим эти два выражения:

$ (-8a^{12}b^9) \cdot (9a^6b^{18}) = (-8 \cdot 9) \cdot (a^{12} \cdot a^6) \cdot (b^9 \cdot b^{18}) = -72a^{12+6}b^{9+18} = -72a^{18}b^{27} $.

2. Упростим знаменатель:

$ (-2a^2b^3)^8 = (-2)^8 \cdot (a^2)^8 \cdot (b^3)^8 = 256 \cdot a^{2 \cdot 8} \cdot b^{3 \cdot 8} = 256a^{16}b^{24} $. Так как степень 8 четная, отрицательный знак у коэффициента -2 исчезает.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь и выполним деление:

$ \frac{-72a^{18}b^{27}}{256a^{16}b^{24}} $

Сократим числовые коэффициенты. Найдем НОД(72, 256). $ 72 = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 $, $ 256 = 2^8 $. НОД(72, 256) = 8.

$ \frac{-72}{256} = -\frac{72 \div 8}{256 \div 8} = -\frac{9}{32} $.

Сократим переменные:

$ \frac{a^{18}}{a^{16}} = a^{18-16} = a^2 $

$ \frac{b^{27}}{b^{24}} = b^{27-24} = b^3 $

Объединяем все части вместе.

Ответ: $ -\frac{9}{32}a^2b^3 $.