Номер 27.16, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

27.16 a) $\frac{(-4x^2y^3)^3 \cdot (-5x^2y^4)^2}{(-10x^3y^5)^0}$;

б) $\frac{(-2a^3x^5)^4 \cdot (-9a^3x^5)^2}{(-6a^4x^7)^0}$.

а) $\frac{(-4x^2y^3)^3 \cdot (-5x^2y^4)^2}{(-10x^3y^5)^0}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Во-первых, любое выражение (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Поэтому знаменатель дроби $(-10x^3y^5)^0 = 1$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$).

Теперь упростим числитель. Для этого используем следующие правила: 1) при возведении произведения в степень, в эту степень возводится каждый множитель: $(abc)^n = a^n b^n c^n$; 2) при возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Возведем в степень первый множитель в числителе: $(-4x^2y^3)^3 = (-4)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3)^3 = -64x^{2 \cdot 3}y^{3 \cdot 3} = -64x^6y^9$.

Возведем в степень второй множитель: $(-5x^2y^4)^2 = (-5)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^4)^2 = 25x^{2 \cdot 2}y^{4 \cdot 2} = 25x^4y^8$.

Далее, перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(-64x^6y^9) \cdot (25x^4y^8) = (-64 \cdot 25) \cdot (x^6 \cdot x^4) \cdot (y^9 \cdot y^8) = -1600x^{6+4}y^{9+8} = -1600x^{10}y^{17}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{-1600x^{10}y^{17}}{1} = -1600x^{10}y^{17}$.

Ответ: $-1600x^{10}y^{17}$

б) $\frac{(-2a^3x^5)^4 \cdot (-9a^3x^5)^2}{(-6a^4x^7)^0}$

Решение этого примера аналогично предыдущему. Сначала заметим, что знаменатель равен 1, так как любое ненулевое выражение в нулевой степени равно 1: $(-6a^4x^7)^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$ и $x \neq 0$).

Теперь упростим числитель. Возведем каждый множитель в соответствующую степень, используя правила $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Первый множитель: $(-2a^3x^5)^4 = (-2)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (x^5)^4 = 16a^{3 \cdot 4}x^{5 \cdot 4} = 16a^{12}x^{20}$.

Второй множитель: $(-9a^3x^5)^2 = (-9)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (x^5)^2 = 81a^{3 \cdot 2}x^{5 \cdot 2} = 81a^6x^{10}$.

Далее, перемножим полученные одночлены, складывая показатели степеней с одинаковыми основаниями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(16a^{12}x^{20}) \cdot (81a^6x^{10}) = (16 \cdot 81) \cdot (a^{12} \cdot a^6) \cdot (x^{20} \cdot x^{10}) = 1296a^{12+6}x^{20+10} = 1296a^{18}x^{30}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1296a^{18}x^{30}}{1} = 1296a^{18}x^{30}$.

Ответ: $1296a^{18}x^{30}$