Номер 27.13, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами. Параграф 27. Деление одночлена на одночлен - номер 27.13, страница 125.

Условие.

27.13 а) $(5a^2b^2)^3 : (5ab)^2;$

б) $(10x^3y^3)^4 : (2x^4y^3)^2;$

в) $(49z^{10}t^{14}) : (7zt)^0;$

г) $(-x^2y^3z)^4 : (xyz).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы решить данный пример, необходимо выполнить деление одночленов. Для этого сначала упростим каждый из них, возведя в степень.

1. Возведем в куб первый одночлен, используя правило возведения в степень произведения $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(5a^2b^2)^3 = 5^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^2)^3 = 125 \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 125a^6b^6$.

2. Возведем в квадрат второй одночлен:

$(5ab)^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 25a^2b^2$.

3. Теперь выполним деление полученных одночленов:

$125a^6b^6 : (25a^2b^2) = \frac{125a^6b^6}{25a^2b^2}$.

Разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{125}{25} \cdot a^{6-2} \cdot b^{6-2} = 5a^4b^4$.

Ответ: $5a^4b^4$.

б) Решим пример по аналогии с предыдущим, выполнив возведение в степень и последующее деление.

1. Возведем в четвертую степень первый одночлен:

$(10x^3y^3)^4 = 10^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^3)^4 = 10000 \cdot x^{3 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = 10000x^{12}y^{12}$.

2. Возведем в квадрат второй одночлен:

$(2x^4y^2)^2 = 2^2 \cdot (x^4)^2 \cdot (y^2)^2 = 4 \cdot x^{4 \cdot 2} \cdot y^{2 \cdot 2} = 4x^8y^4$.

3. Выполним деление:

$10000x^{12}y^{12} : (4x^8y^4) = \frac{10000x^{12}y^{12}}{4x^8y^4}$.

Разделим коэффициенты и степени:

$\frac{10000}{4} \cdot x^{12-8} \cdot y^{12-4} = 2500x^4y^8$.

Ответ: $2500x^4y^8$.

в) Для решения данного примера необходимо использовать свойство нулевой степени.

1. Делимое $(49z^{10}t^{14})$ уже в стандартном виде.

2. Упростим делитель $(7zt)^0$. Любое ненулевое выражение, возведенное в нулевую степень, равно единице: $a^0=1$ (при $a \neq 0$).

Таким образом, $(7zt)^0 = 1$, при условии что $z \neq 0$ и $t \neq 0$.

3. Выполним деление:

$(49z^{10}t^{14}) : 1 = 49z^{10}t^{14}$.

Ответ: $49z^{10}t^{14}$.

г) Решим пример, последовательно выполняя возведение в степень и деление.

1. Возведем в четвертую степень первый одночлен. Так как степень четная (4), знак "минус" исчезнет:

$(-x^2y^3z)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^3)^4 \cdot z^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} \cdot z^4 = x^8y^{12}z^4$.

2. Делитель $(xyz)$ уже в стандартном виде.

3. Выполним деление полученных одночленов:

$x^8y^{12}z^4 : (xyz) = \frac{x^8y^{12}z^4}{x^1y^1z^1}$.

Используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$x^{8-1}y^{12-1}z^{4-1} = x^7y^{11}z^3$.

Ответ: $x^7y^{11}z^3$.