Номер 27.18, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Деление одночлена на одночлен. Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами. Часть 2 - номер 27.18, страница 125.

Условие.

27.18 a) $ \frac{(3a^5b^3)^4 \cdot (2a^3b^2)^0}{(6a^4b^2)^5} $;

б) $ \frac{(10a^6x^5)^6}{(5a^9x^2)^4 \cdot (2a^9x^6)^0} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Дано выражение: $ \frac{(3a^5b^3)^4 \cdot (2a^3b^2)^0}{(6a^4b^2)^5} $.
Первым шагом упростим множитель, возведенный в нулевую степень. Согласно свойству степеней, любое ненулевое выражение в степени 0 равно 1, поэтому $(2a^3b^2)^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$).
Выражение примет вид: $ \frac{(3a^5b^3)^4}{(6a^4b^2)^5} $.
Далее, раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя правило возведения произведения в степень $((xy)^n = x^n y^n)$ и правило возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{mn})$:
Числитель: $(3a^5b^3)^4 = 3^4 \cdot (a^5)^4 \cdot (b^3)^4 = 81a^{20}b^{12}$.
Знаменатель: $(6a^4b^2)^5 = 6^5 \cdot (a^4)^5 \cdot (b^2)^5 = 7776a^{20}b^{10}$.
Теперь наша дробь выглядит так: $ \frac{81a^{20}b^{12}}{7776a^{20}b^{10}} $.
Произведем сокращение. Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $):
$ \frac{a^{20}}{a^{20}} = a^{20-20} = a^0 = 1 $
$ \frac{b^{12}}{b^{10}} = b^{12-10} = b^2 $
Теперь сократим числовые коэффициенты: $ \frac{81}{7776} $. Разложим числа на множители для удобства: $81 = 3^4$, а $7776 = 6^5 = (2 \cdot 3)^5 = 2^5 \cdot 3^5$.
$ \frac{3^4}{2^5 \cdot 3^5} = \frac{1}{2^5 \cdot 3^{5-4}} = \frac{1}{32 \cdot 3} = \frac{1}{96} $.
Объединив все результаты, получаем: $ \frac{1}{96} \cdot 1 \cdot b^2 = \frac{b^2}{96} $.
Ответ: $ \frac{b^2}{96} $.

б)

Дано выражение: $ \frac{(10a^6x^5)^6}{(5a^9x^2)^4 \cdot (2a^9x^6)^0} $.
Сначала упростим множитель $(2a^9x^6)^0$. Любое ненулевое выражение, возведенное в степень 0, равно 1. Значит, $(2a^9x^6)^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$ и $x \neq 0$).
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{(10a^6x^5)^6}{(5a^9x^2)^4} $.
Применим правила возведения в степень к числителю и знаменателю ($ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $):
Числитель: $(10a^6x^5)^6 = 10^6 \cdot (a^6)^6 \cdot (x^5)^6 = 10^6 a^{36} x^{30}$.
Знаменатель: $(5a^9x^2)^4 = 5^4 \cdot (a^9)^4 \cdot (x^2)^4 = 5^4 a^{36} x^{8}$.
Подставим результаты в дробь: $ \frac{10^6 a^{36} x^{30}}{5^4 a^{36} x^{8}} $.
Теперь сократим дробь. Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $):
$ \frac{a^{36}}{a^{36}} = a^{36-36} = a^0 = 1 $
$ \frac{x^{30}}{x^{8}} = x^{30-8} = x^{22} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{10^6}{5^4} = \frac{(2 \cdot 5)^6}{5^4} = \frac{2^6 \cdot 5^6}{5^4} = 2^6 \cdot 5^{6-4} = 2^6 \cdot 5^2 = 64 \cdot 25 = 1600 $.
Объединим все части: $ 1600 \cdot 1 \cdot x^{22} = 1600x^{22} $.
Ответ: $ 1600x^{22} $.