Номер 28.5, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Таблица распределения частот. Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами. Часть 2 - номер 28.5, страница 127.

Условие.

28.5 a) Сколько различных одночленов вида $x^n \cdot y^k \cdot z^m$ можно получить, подставляя в качестве показателей $n, k, m$ числа 1, 2, 3, 4, 5?

б) Сколько среди них будет одночленов, у которых все три показателя будут нечётны?

в) Сколько среди них будет одночленов, у которых все три показателя будут иметь разную чётность?

г) Сколько среди них будет одночленов, которые можно представить как квадрат другого одночлена?

Решение 8.

а) Чтобы найти общее количество различных одночленов вида $x^n \cdot y^k \cdot z^m$, нужно определить, сколькими способами можно выбрать значения для каждого из показателей $n, k, m$. По условию, каждый из этих показателей может принимать любое значение из набора {1, 2, 3, 4, 5}. Всего в этом наборе 5 чисел.
Поскольку выбор значения для одного показателя не зависит от выбора значений для других, мы можем использовать правило произведения в комбинаторике.
Количество способов выбрать значение для $n$: 5.
Количество способов выбрать значение для $k$: 5.
Количество способов выбрать значение для $m$: 5.
Общее количество различных одночленов равно произведению количеств выборов для каждого показателя:
$N = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$.
Ответ: 125.

б) В этом случае нам нужно найти количество одночленов, у которых все три показателя $n, k, m$ являются нечётными.
В наборе {1, 2, 3, 4, 5} нечётными числами являются {1, 3, 5}. Всего таких чисел 3.
Таким образом, для каждого из показателей $n, k, m$ есть 3 варианта выбора.
Количество способов выбрать нечётное значение для $n$: 3.
Количество способов выбрать нечётное значение для $k$: 3.
Количество способов выбрать нечётное значение для $m$: 3.
Общее количество таких одночленов:
$N_{нечет} = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

в) Фраза "все три показателя будут иметь разную чётность" не может быть истолкована буквально, так как существует всего два вида чётности (чётное и нечётное), и по принципу Дирихле как минимум два из трех показателей будут иметь одинаковую чётность. Следовательно, вопрос подразумевает, что чётность показателей не должна быть одинаковой для всех трёх. То есть, мы должны исключить случаи, когда все три показателя чётные, и случаи, когда все три показателя нечётные.
1. Общее количество одночленов (из пункта а): 125.
2. Количество одночленов, где все три показателя нечётные (из пункта б): 27.
3. Найдем количество одночленов, где все три показателя чётные. В наборе {1, 2, 3, 4, 5} чётными числами являются {2, 4}. Всего таких чисел 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $n$: 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $k$: 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $m$: 2.
Количество таких одночленов: $N_{чет} = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.
4. Теперь вычтем из общего числа одночленов количество тех, у которых все показатели имеют одинаковую чётность:
$N_{разн.чет} = N - N_{нечет} - N_{чет} = 125 - 27 - 8 = 90$.
Ответ: 90.

г) Одночлен можно представить как квадрат другого одночлена, если все его показатели степеней являются чётными числами. Например, $(x^a y^b z^c)^2 = x^{2a} y^{2b} z^{2c}$. Это означает, что показатели $n, k, m$ в выражении $x^n \cdot y^k \cdot z^m$ должны быть чётными.
Нам нужно найти количество одночленов, у которых все три показателя $n, k, m$ являются чётными.
Как мы определили в пункте (в), в наборе {1, 2, 3, 4, 5} есть два чётных числа: {2, 4}.
Количество способов выбрать чётное значение для $n$: 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $k$: 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $m$: 2.
Общее количество таких одночленов:
$N_{квадрат} = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.
Ответ: 8.