Страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Как перемножить два одночлена? Приведите пример.

1.

Чтобы перемножить два одночлена, необходимо выполнить следующие действия:

1. Перемножить их числовые коэффициенты.

2. Перемножить степени с одинаковыми буквенными основаниями. Для этого используется свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

3. Записать полученные результаты (новый коэффициент и переменные с новыми степенями) в виде одного одночлена. Переменные, которые встречаются только в одном из множителей, переносятся в произведение без изменений.

Пример:

Найдем произведение одночленов $4a^2bc^3$ и $-5a^3b^4d$.

$(4a^2bc^3) \cdot (-5a^3b^4d)$

Выполним умножение по шагам:

1. Умножаем числовые коэффициенты: $4 \cdot (-5) = -20$.

2. Умножаем переменные с одинаковыми основаниями:

Для основания $a$: $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$.

Для основания $b$: $b \cdot b^4 = b^{1+4} = b^5$.

3. Переменные $c^3$ и $d$ встречаются только в одном из одночленов, поэтому просто переписываем их в результат.

4. Собираем все части вместе, располагая переменные в алфавитном порядке: $-20a^5b^5c^3d$.

Ответ: Чтобы перемножить два одночлена, нужно перемножить их коэффициенты и сложить показатели степеней у одинаковых переменных. Пример: $(4a^2bc^3) \cdot (-5a^3b^4d) = (4 \cdot -5) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b \cdot b^4) \cdot c^3 \cdot d = -20a^5b^5c^3d$.

2. Используя переменные $p$, $q$ и $r$, составьте одночлен с коэффициентом $144$ и представьте его в виде произведения одночленов несколькими способами.

Для выполнения этого задания сначала составим одночлен с коэффициентом 144 и переменными $p, q, r$. Одночлен — это произведение числового коэффициента и переменных, возведенных в целые неотрицательные степени. Степени для переменных можно выбрать произвольно. В качестве примера возьмем одночлен, у которого переменная $p$ в степени 2, $q$ в степени 3, а $r$ в степени 4. Получим одночлен: $144p^2q^3r^4$.

Теперь представим этот одночлен в виде произведения других одночленов несколькими способами. Для этого нужно разложить на множители как коэффициент 144, так и переменную часть $p^2q^3r^4$.

Способ 1
Представим коэффициент 144 как произведение $12 \cdot 12$. Переменную часть $p^2q^3r^4$ разделим на два множителя, например, $p^2q^3r^4 = (pqr^2) \cdot (pq^2r^2)$. Тогда исходный одночлен можно представить в виде произведения двух одночленов:$144p^2q^3r^4 = (12pqr^2) \cdot (12pq^2r^2)$.
Для проверки перемножим полученные одночлены: $(12 \cdot 12) \cdot (p \cdot p) \cdot (q \cdot q^2) \cdot (r^2 \cdot r^2) = 144p^{1+1}q^{1+2}r^{2+2} = 144p^2q^3r^4$.

Способ 2
Используем другое разложение для коэффициента, например, $144 = 8 \cdot 18$. Переменные также сгруппируем по-новому: $p^2q^3r^4 = (p^2r) \cdot (q^3r^3)$. Тогда произведение будет таким:$144p^2q^3r^4 = (8p^2r) \cdot (18q^3r^3)$.
Проверка: $(8 \cdot 18) \cdot (p^2) \cdot (q^3) \cdot (r \cdot r^3) = 144p^2q^3r^{1+3} = 144p^2q^3r^4$.

Способ 3
Можно представить одночлен в виде произведения трех одночленов. Для этого разложим коэффициент 144 на три множителя, например, $144 = 4 \cdot 6 \cdot 6$. Переменную часть $p^2q^3r^4$ также разделим на три множителя: $(p) \cdot (q^2r) \cdot (pqr^3)$. Получаем:$144p^2q^3r^4 = (4p) \cdot (6q^2r) \cdot (6pqr^3)$.
Проверка: $(4 \cdot 6 \cdot 6) \cdot (p \cdot p) \cdot (q^2 \cdot q) \cdot (r \cdot r^3) = 144p^{1+1}q^{2+1}r^{1+3} = 144p^2q^3r^4$.

Способ 4
Можно также использовать отрицательные коэффициенты, так как произведение двух отрицательных чисел дает положительное. Представим 144 как $(-9) \cdot (-16)$. Переменную часть разложим как $(p^2q^3) \cdot (r^4)$. Получаем:$144p^2q^3r^4 = (-9p^2q^3) \cdot (-16r^4)$.
Проверка: $((-9) \cdot (-16)) \cdot (p^2) \cdot (q^3) \cdot (r^4) = 144p^2q^3r^4$.

Ответ: Пример одночлена — $144p^2q^3r^4$. Способы его представления в виде произведения:
1) $(12pqr^2) \cdot (12pq^2r^2)$;
2) $(8p^2r) \cdot (18q^3r^3)$;
3) $(4p) \cdot (6q^2r) \cdot (6pqr^3)$;
4) $(-9p^2q^3) \cdot (-16r^4)$.(Существует бесконечное множество других способов).

3. Как возвести одночлен в натуральную степень? Приведите пример.

Как возвести одночлен в натуральную степень?
Чтобы возвести одночлен в натуральную степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель, из которого состоит одночлен (числовой коэффициент и каждую переменную), а затем полученные результаты перемножить.
Это правило основывается на двух основных свойствах степеней:
1. Степень произведения равна произведению степеней множителей: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
2. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Таким образом, для одночлена вида $A = c \cdot x^k \cdot y^m$, где $c$ – числовой коэффициент, а $x, y$ – переменные в степенях $k$ и $m$, возведение в натуральную степень $n$ выполняется по формуле:
$A^n = (c \cdot x^k \cdot y^m)^n = c^n \cdot (x^k)^n \cdot (y^m)^n = c^n \cdot x^{k \cdot n} \cdot y^{m \cdot n}$.

Приведите пример.
Возведем одночлен $-3a^2b^5$ в 4-ю степень.
Запишем выражение для возведения в степень: $(-3a^2b^5)^4$.
Следуя правилу, возведем в 4-ю степень каждый множитель одночлена: числовой коэффициент $-3$, переменную $a^2$ и переменную $b^5$.
$(-3a^2b^5)^4 = (-3)^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^5)^4$.
Теперь выполним вычисления для каждого множителя:
1. Возводим в степень числовой коэффициент: $(-3)^4 = 81$.
2. Возводим в степень переменную $a$: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.
3. Возводим в степень переменную $b$: $(b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$.
Соединяем полученные результаты в один одночлен: $81a^8b^{20}$.
Ответ: $(-3a^2b^5)^4 = 81a^8b^{20}$.

4. Представьте одночлен $16a^4b^6$ в виде произведения двух одночленов; в виде степени одночлена.

в виде произведения двух одночленов

Чтобы представить одночлен $16a^4b^6$ в виде произведения двух других одночленов, необходимо разбить на два множителя его коэффициент (16) и каждую переменную в степени ($a^4$ и $b^6$). При умножении одночленов их коэффициенты перемножаются, а показатели степеней одинаковых переменных складываются в соответствии с правилом $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Существует множество способов это сделать.

Рассмотрим один из возможных вариантов. Разобьем:

• коэффициент $16$ на множители $2$ и $8$;
• $a^4$ на множители $a$ и $a^3$ (так как $1+3=4$);
• $b^6$ на множители $b^2$ и $b^4$ (так как $2+4=6$).

Тогда первый одночлен будет $2ab^2$, а второй $8a^3b^4$. Выполним проверку:

$(2ab^2) \cdot (8a^3b^4) = (2 \cdot 8) \cdot (a^1 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^4) = 16 a^{1+3} b^{2+4} = 16a^4b^6$.

Другой пример: можно разбить $16$ на $4 \cdot 4$, $a^4$ на $a^2 \cdot a^2$, а $b^6$ на $b^3 \cdot b^3$. Тогда произведение будет $(4a^2b^3) \cdot (4a^2b^3)$.

Ответ: Например, $(2ab^2) \cdot (8a^3b^4)$ или $(4a^2b^3) \cdot (4a^2b^3)$.

в виде степени одночлена

Чтобы представить одночлен $16a^4b^6$ в виде степени другого одночлена, то есть в виде $(ka^xb^y)^n$, необходимо найти такой целый показатель степени $n > 1$, чтобы выполнялись равенства: $k^n = 16$, $x \cdot n = 4$ и $y \cdot n = 6$.

Из равенств для показателей степеней видно, что $n$ должно быть общим делителем чисел 4 и 6. Общими делителями являются 1 и 2. Так как требуется представить в виде степени, случай $n=1$ является тривиальным. Рассмотрим $n=2$.

Если $n=2$, то мы получаем систему уравнений:

• $k^2 = 16$
• $x \cdot 2 = 4$
• $y \cdot 2 = 6$

Решая эту систему, находим: $k=4$ или $k=-4$, $x=2$, $y=3$.

Таким образом, исходный одночлен можно представить как квадрат одночлена $4a^2b^3$ или $-4a^2b^3$.

Проверка: $(4a^2b^3)^2 = 4^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 16 a^{2 \cdot 2} b^{3 \cdot 2} = 16a^4b^6$.

Аналогично, $(-4a^2b^3)^2 = (-4)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 16a^4b^6$.

Ответ: $(4a^2b^3)^2$ или $(-4a^2b^3)^2$.

28.5 a) Сколько различных одночленов вида $x^n \cdot y^k \cdot z^m$ можно получить, подставляя в качестве показателей $n, k, m$ числа 1, 2, 3, 4, 5?

б) Сколько среди них будет одночленов, у которых все три показателя будут нечётны?

в) Сколько среди них будет одночленов, у которых все три показателя будут иметь разную чётность?

г) Сколько среди них будет одночленов, которые можно представить как квадрат другого одночлена?

а) Чтобы найти общее количество различных одночленов вида $x^n \cdot y^k \cdot z^m$, нужно определить, сколькими способами можно выбрать значения для каждого из показателей $n, k, m$. По условию, каждый из этих показателей может принимать любое значение из набора {1, 2, 3, 4, 5}. Всего в этом наборе 5 чисел.
Поскольку выбор значения для одного показателя не зависит от выбора значений для других, мы можем использовать правило произведения в комбинаторике.
Количество способов выбрать значение для $n$: 5.
Количество способов выбрать значение для $k$: 5.
Количество способов выбрать значение для $m$: 5.
Общее количество различных одночленов равно произведению количеств выборов для каждого показателя:
$N = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$.
Ответ: 125.

б) В этом случае нам нужно найти количество одночленов, у которых все три показателя $n, k, m$ являются нечётными.
В наборе {1, 2, 3, 4, 5} нечётными числами являются {1, 3, 5}. Всего таких чисел 3.
Таким образом, для каждого из показателей $n, k, m$ есть 3 варианта выбора.
Количество способов выбрать нечётное значение для $n$: 3.
Количество способов выбрать нечётное значение для $k$: 3.
Количество способов выбрать нечётное значение для $m$: 3.
Общее количество таких одночленов:
$N_{нечет} = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

в) Фраза "все три показателя будут иметь разную чётность" не может быть истолкована буквально, так как существует всего два вида чётности (чётное и нечётное), и по принципу Дирихле как минимум два из трех показателей будут иметь одинаковую чётность. Следовательно, вопрос подразумевает, что чётность показателей не должна быть одинаковой для всех трёх. То есть, мы должны исключить случаи, когда все три показателя чётные, и случаи, когда все три показателя нечётные.
1. Общее количество одночленов (из пункта а): 125.
2. Количество одночленов, где все три показателя нечётные (из пункта б): 27.
3. Найдем количество одночленов, где все три показателя чётные. В наборе {1, 2, 3, 4, 5} чётными числами являются {2, 4}. Всего таких чисел 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $n$: 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $k$: 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $m$: 2.
Количество таких одночленов: $N_{чет} = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.
4. Теперь вычтем из общего числа одночленов количество тех, у которых все показатели имеют одинаковую чётность:
$N_{разн.чет} = N - N_{нечет} - N_{чет} = 125 - 27 - 8 = 90$.
Ответ: 90.

г) Одночлен можно представить как квадрат другого одночлена, если все его показатели степеней являются чётными числами. Например, $(x^a y^b z^c)^2 = x^{2a} y^{2b} z^{2c}$. Это означает, что показатели $n, k, m$ в выражении $x^n \cdot y^k \cdot z^m$ должны быть чётными.
Нам нужно найти количество одночленов, у которых все три показателя $n, k, m$ являются чётными.
Как мы определили в пункте (в), в наборе {1, 2, 3, 4, 5} есть два чётных числа: {2, 4}.
Количество способов выбрать чётное значение для $n$: 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $k$: 2.
Количество способов выбрать чётное значение для $m$: 2.
Общее количество таких одночленов:
$N_{квадрат} = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.
Ответ: 8.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5

Вариант 1

1 Приведите одночлен $0,5ab^2 \cdot (-3a^2b) \cdot \left(-\frac{2}{3}a^7b^5c\right)$ к стандартному виду.

1

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно перемножить все его числовые множители и степени с одинаковыми буквенными основаниями. Стандартный вид одночлена — это произведение числового коэффициента и степеней различных переменных.

Дано выражение: $0,5ab^2 \cdot (-3a^2b) \cdot (-\frac{2}{3}a^7b^5c)$.

Сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени каждой переменной:

$(0,5 \cdot (-3) \cdot (-\frac{2}{3})) \cdot (a \cdot a^2 \cdot a^7) \cdot (b^2 \cdot b \cdot b^5) \cdot c$

1. Вычислим произведение числовых коэффициентов. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$:

$0,5 \cdot (-3) \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 3} = 1$

2. Перемножим степени с основанием $a$, сложив их показатели ($a = a^1$):

$a^1 \cdot a^2 \cdot a^7 = a^{1+2+7} = a^{10}$

3. Перемножим степени с основанием $b$, сложив их показатели ($b = b^1$):

$b^2 \cdot b^1 \cdot b^5 = b^{2+1+5} = b^8$

4. Переменная $c$ встречается только в одном множителе, поэтому она остается без изменений.

5. Запишем результат, объединив полученный коэффициент и степени переменных в алфавитном порядке. Коэффициент $1$ обычно не пишется.

$1 \cdot a^{10} \cdot b^8 \cdot c = a^{10}b^8c$

Ответ: $a^{10}b^8c$

2 Дан одночлен $1 \frac{1}{5} m^3 n^2 l^4$. Запишите одночлен, который в сумме с данным даёт одночлен $m^3 n^2 l^4$.

Пусть искомый одночлен будет $X$. По условию задачи, его сумма с данным одночленом $1\frac{1}{5}m^3n^2t^4$ должна дать в результате одночлен $m^3n^2t^4$. Это можно записать в виде уравнения:

$1\frac{1}{5}m^3n^2t^4 + X = m^3n^2t^4$

Чтобы найти неизвестный одночлен $X$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$X = m^3n^2t^4 - 1\frac{1}{5}m^3n^2t^4$

Оба одночлена в правой части уравнения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $m^3n^2t^4$. Чтобы выполнить вычитание, нужно вычесть их коэффициенты (числовые множители). Коэффициент одночлена $m^3n^2t^4$ равен $1$.

$X = (1 - 1\frac{1}{5})m^3n^2t^4$

Теперь вычислим значение выражения в скобках. Для этого представим смешанное число $1\frac{1}{5}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Выполним вычитание коэффициентов:

$1 - \frac{6}{5} = \frac{5}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5}$

Таким образом, искомый одночлен $X$ равен:

$X = -\frac{1}{5}m^3n^2t^4$

Ответ: $-\frac{1}{5}m^3n^2t^4$

3 Представьте одночлен $-4,5a^4bc^3$ в виде суммы одночленов:

a) с одинаковыми по знаку коэффициентами;

б) с разными по знаку коэффициентами.

Чтобы представить одночлен в виде суммы других одночленов, необходимо представить его в виде суммы подобных ему одночленов. Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть. В данном случае буквенная часть – это $a^4bc^3$. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы представить коэффициент $-4,5$ в виде суммы других чисел, которые будут являться коэффициентами в итоговой сумме и удовлетворять заданным условиям. Поскольку существует бесконечно много способов представить число в виде суммы, приведем по одному возможному примеру для каждого случая.

а) с одинаковыми по знаку коэффициентами

Исходный коэффициент $-4,5$ является отрицательным числом. Чтобы представить его в виде суммы одночленов с коэффициентами одинакового знака, все коэффициенты в сумме также должны быть отрицательными. Представим число $-4,5$ в виде суммы двух отрицательных чисел, например, $-2$ и $-2,5$.

$-4,5 = -2 + (-2,5) = -2 - 2,5$

Теперь, используя это разложение, можно представить исходный одночлен в виде суммы:

$-4,5a^4bc^3 = (-2 - 2,5)a^4bc^3 = -2a^4bc^3 - 2,5a^4bc^3$

Коэффициенты $-2$ и $-2,5$ имеют одинаковый знак (оба отрицательные), что соответствует условию задачи.

Ответ: $-2a^4bc^3 - 2,5a^4bc^3$

б) с разными по знаку коэффициентами

Чтобы представить одночлен в виде суммы одночленов с коэффициентами разного знака, необходимо, чтобы в сумме был как минимум один положительный и один отрицательный коэффициент. Представим коэффициент $-4,5$ в виде суммы двух чисел с разными знаками. Например, выберем одно из слагаемых положительным, скажем, $1,5$. Тогда второе слагаемое $x$ должно удовлетворять уравнению:

$1,5 + x = -4,5$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = -4,5 - 1,5$

$x = -6$

Таким образом, мы получили разложение $-4,5 = 1,5 - 6$. Коэффициенты $1,5$ и $-6$ имеют разные знаки.

Используя это разложение, запишем исходный одночлен в виде суммы:

$-4,5a^4bc^3 = (1,5 - 6)a^4bc^3 = 1,5a^4bc^3 - 6a^4bc^3$

Коэффициенты $1,5$ (положительный) и $-6$ (отрицательный) имеют разные знаки, что соответствует условию задачи.

Ответ: $1,5a^4bc^3 - 6a^4bc^3$

4 Решите уравнение

$\frac{5}{7} x^9 - \frac{3}{14} x^9 - 1\frac{1}{2} x^9 = -1$

Для решения уравнения $\frac{5}{7}x^9 - \frac{3}{14}x^9 - 1\frac{1}{2}x^9 = -1$ сгруппируем слагаемые с переменной $x^9$ в левой части, вынеся общий множитель за скобки.

$x^9 \left( \frac{5}{7} - \frac{3}{14} - 1\frac{1}{2} \right) = -1$

Теперь вычислим значение выражения в скобках. Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Затем приведем все дроби к общему знаменателю, который равен 14.

$\frac{5}{7} - \frac{3}{14} - \frac{3}{2} = \frac{5 \cdot 2}{14} - \frac{3}{14} - \frac{3 \cdot 7}{14} = \frac{10}{14} - \frac{3}{14} - \frac{21}{14}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{10 - 3 - 21}{14} = \frac{7 - 21}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

Подставим полученный коэффициент обратно в уравнение:

$x^9 \cdot (-1) = -1$

Или, что то же самое:

$-x^9 = -1$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти $x^9$:

$x^9 = 1$

Осталось найти $x$, извлекая корень девятой степени из обеих частей уравнения. Так как 9 — нечетное число, действительный корень будет только один.

$x = \sqrt[9]{1}$

$x = 1$

Ответ: $1$

5 Упростите выражение $- \left(\frac{2}{3} x^2 y^2\right)^4 \cdot \left(-2\frac{1}{4} xy^3\right)^3$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала возвести в степень каждый из одночленов в скобках, а затем перемножить полученные результаты.

Исходное выражение:

$$-\left(\frac{2}{3}x^2y^2\right)^4 \cdot \left(-2\frac{1}{4}xy^3\right)^3$$

Шаг 1: Упрощение первого множителя.

Возведем одночлен $\frac{2}{3}x^2y^2$ в четвертую степень. Знак минус находится перед скобкой, поэтому он не возводится в степень и сохраняется в результате.

Используем свойство степени $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$$-\left(\frac{2}{3}x^2y^2\right)^4 = - \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^2)^4 = - \frac{2^4}{3^4} \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 4} = -\frac{16}{81}x^8y^8$$

Шаг 2: Упрощение второго множителя.

Сначала преобразуем смешанное число $-2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$$-2\frac{1}{4} = -\frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{9}{4}$$

Теперь возведем одночлен $-\frac{9}{4}xy^3$ в третью степень. Поскольку степень нечетная (3), знак минус сохраняется.

$$\left(-\frac{9}{4}xy^3\right)^3 = \left(-\frac{9}{4}\right)^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = - \frac{9^3}{4^3} \cdot x^3 \cdot y^{3 \cdot 3} = -\frac{729}{64}x^3y^9$$

Шаг 3: Перемножение результатов.

Теперь умножим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$$\left(-\frac{16}{81}x^8y^8\right) \cdot \left(-\frac{729}{64}x^3y^9\right)$$

Произведение двух отрицательных выражений является положительным. Перемножим числовые коэффициенты и степени переменных отдельно.

Умножение коэффициентов (сокращаем дроби перед умножением):

$$\frac{16}{81} \cdot \frac{729}{64} = \frac{16}{64} \cdot \frac{729}{81} = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4}$$

Умножение переменных (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются):

$$x^8 \cdot x^3 = x^{8+3} = x^{11}$$

$$y^8 \cdot y^9 = y^{8+9} = y^{17}$$

Шаг 4: Запись итогового выражения.

Объединяем полученные части:

$$\frac{9}{4}x^{11}y^{17}$$

Результат можно также представить в виде смешанного числа $2\frac{1}{4}x^{11}y^{17}$ или десятичной дроби $2.25x^{11}y^{17}$.

Ответ: $$\frac{9}{4}x^{11}y^{17}$$

6 Замените символ * таким одночленом, чтобы выполнялось равенство

$* \cdot \frac{1}{5} m^4 n = -m^6 n^4.$

Чтобы найти неизвестный множитель, обозначенный символом *, необходимо разделить произведение (правую часть равенства) на известный множитель.

Исходное равенство:
$* \cdot \frac{1}{5}m^4n = -m^6n^4$

Выразим неизвестный множитель *, выполнив деление:
$* = (-m^6n^4) : (\frac{1}{5}m^4n)$

Для удобства запишем это выражение в виде дроби и выполним деление отдельно для числовых коэффициентов и для каждой переменной.
$* = \frac{-m^6n^4}{\frac{1}{5}m^4n}$

1. Найдём частное числовых коэффициентов. Коэффициент в числителе равен $-1$, а в знаменателе — $\frac{1}{5}$.
$-1 : \frac{1}{5} = -1 \cdot 5 = -5$

2. Найдём частное степеней переменной $m$, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($a^x / a^y = a^{x-y}$):
$\frac{m^6}{m^4} = m^{6-4} = m^2$

3. Найдём частное степеней переменной $n$ (учитывая, что $n$ — это $n^1$):
$\frac{n^4}{n^1} = n^{4-1} = n^3$

Теперь объединим все полученные части, чтобы составить искомый одночлен:
$* = -5m^2n^3$

Проверим правильность решения, подставив найденный одночлен в исходное уравнение:
$(-5m^2n^3) \cdot (\frac{1}{5}m^4n) = (-5 \cdot \frac{1}{5}) \cdot (m^2 \cdot m^4) \cdot (n^3 \cdot n^1) = -1 \cdot m^{2+4} \cdot n^{3+1} = -m^6n^4$
Левая часть стала равна правой ($-m^6n^4 = -m^6n^4$), следовательно, одночлен найден верно.

Ответ: $-5m^2n^3$

Представьте в виде квадрата или куба некоторого одночлена:

а) $2\frac{7}{9} x^4 y^2 z^8$;

б) $0,027 m^9 n^6$.

а) Чтобы представить одночлен $2\frac{7}{9}x^4y^2z^8$ в виде квадрата или куба некоторого одночлена, необходимо проанализировать его коэффициент и показатели степеней переменных.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{25}{9}x^4y^2z^8$.
Проверим, можно ли представить его в виде квадрата. Для этого коэффициент должен быть полным квадратом, а показатели степеней переменных должны делиться на 2.
Коэффициент $\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2$. Это квадрат числа $\frac{5}{3}$.
Показатели степеней $4$, $2$ и $8$ все делятся на 2.
Следовательно, весь одночлен можно представить в виде квадрата. Используя правило возведения в степень $(a^m)^n=a^{mn}$, найдем основание:
$\frac{25}{9}x^4y^2z^8 = (\frac{5}{3})^2 \cdot (x^{4/2})^2 \cdot (y^{2/2})^2 \cdot (z^{8/2})^2 = (\frac{5}{3})^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^1)^2 \cdot (z^4)^2 = (\frac{5}{3}x^2yz^4)^2$.
Ответ: $(\frac{5}{3}x^2yz^4)^2$.

б) Рассмотрим одночлен $0,027m^9n^6$.
Проверим, можно ли представить его в виде куба. Для этого коэффициент должен быть полным кубом, а показатели степеней переменных должны делиться на 3.
Коэффициент $0,027 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = (0,3)^3$. Это куб числа $0,3$.
Показатели степеней $9$ и $6$ оба делятся на 3 ($9 = 3 \cdot 3$, $6 = 2 \cdot 3$).
Следовательно, весь одночлен можно представить в виде куба. Найдем основание:
$0,027m^9n^6 = (0,3)^3 \cdot (m^{9/3})^3 \cdot (n^{6/3})^3 = (0,3)^3 \cdot (m^3)^3 \cdot (n^2)^3 = (0,3m^3n^2)^3$.
Ответ: $(0,3m^3n^2)^3$.

8 Найдите значение выражения $(3xy)^3 \cdot (\frac{1}{3}xy^2)^2$, если $x = -3, y = \frac{1}{3}$.

Для нахождения значения выражения $(3xy)^3 \cdot (\frac{1}{3}xy^2)^2$ при $x = -3$ и $y = \frac{1}{3}$ сначала упростим его, используя свойства степеней.

1. Возведем каждый множитель в скобках в соответствующую степень. Для этого используем правило возведения произведения в степень $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

Первый множитель: $(3xy)^3 = 3^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = 27x^3y^3$.

Второй множитель: $(\frac{1}{3}xy^2)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{1}{9}x^2y^4$.

2. Теперь перемножим полученные выражения:

$27x^3y^3 \cdot \frac{1}{9}x^2y^4$

3. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и выполним умножение. Для переменных используем правило умножения степеней с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(27 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot (y^3 \cdot y^4) = 3 \cdot x^{3+2} \cdot y^{3+4} = 3x^5y^7$.

4. Теперь подставим значения $x = -3$ и $y = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение $3x^5y^7$:

$3 \cdot (-3)^5 \cdot (\frac{1}{3})^7$

Выполним вычисления:

$3 \cdot (-243) \cdot \frac{1}{2187} = -729 \cdot \frac{1}{2187}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 729:

$-\frac{729}{2187} = -\frac{729 \div 729}{2187 \div 729} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

9 Упростите выражение $ \frac{(1.2x^2z^5)^2 \cdot (2x^4z)^3}{0.6xz^8} $

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно выполнить действия со степенями в числителе, затем перемножить полученные одночлены и в конце разделить результат на знаменатель.

Исходное выражение:

$$ \frac{(1,2x^2z^5)^2 \cdot (2x^4z)^3}{0,6xz^8} $$

Сначала упростим числитель дроби, возведя каждый множитель в соответствующую степень. Используем правило возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

Возводим в квадрат первый множитель в числителе:

$$ (1,2x^2z^5)^2 = (1,2)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (z^5)^2 = 1,44x^{4}z^{10} $$

Возводим в куб второй множитель в числителе:

$$ (2x^4z)^3 = 2^3 \cdot (x^4)^3 \cdot z^3 = 8x^{12}z^3 $$

Теперь перемножим полученные выражения в числителе. Для этого сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ (1,44x^4z^{10}) \cdot (8x^{12}z^3) = (1,44 \cdot 8) \cdot (x^4 \cdot x^{12}) \cdot (z^{10} \cdot z^3) = 11,52x^{16}z^{13} $$

Подставим упрощенный числитель обратно в исходное выражение:

$$ \frac{11,52x^{16}z^{13}}{0,6xz^8} $$

На последнем шаге выполним деление. Разделим числовые коэффициенты, а также степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ \frac{11,52x^{16}z^{13}}{0,6xz^8} = \left(\frac{11,52}{0,6}\right) \cdot \left(\frac{x^{16}}{x^1}\right) \cdot \left(\frac{z^{13}}{z^8}\right) = 19,2 \cdot x^{16-1} \cdot z^{13-8} = 19,2x^{15}z^5 $$

Ответ: $19,2x^{15}z^5$