Страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4. Приведите свой пример одночлена, записанного в стандартном виде, и одночлена, не записанного в стандартном виде.

Во втором случае приведите одночлен к стандартному виду.

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней.
Стандартный вид одночлена — это такая его форма записи, в которой на первом месте стоит единственный числовой множитель (называемый коэффициентом), а за ним следуют степени различных переменных, расположенных, как правило, в алфавитном порядке. Каждая переменная в стандартном виде встречается только один раз.

Пример одночлена, записанного в стандартном виде

Рассмотрим одночлен $12a^4b^2c$.
Этот одночлен записан в стандартном виде, так как:
1. Он имеет единственный числовой коэффициент $12$, который находится на первом месте.
2. Каждая переменная ($a$, $b$, $c$) встречается в записи только один раз.
3. Переменные записаны в виде степеней и расположены в алфавитном порядке.

Ответ: Примером одночлена в стандартном виде является $12a^4b^2c$.

Пример одночлена, не записанного в стандартном виде, и приведение его к стандартному виду

Рассмотрим одночлен $3x^2y \cdot (-2)xz \cdot x$.
Этот одночлен не является одночленом стандартного вида, потому что:
1. В его записи присутствуют два числовых множителя: $3$ и $-2$.
2. Переменная $x$ встречается три раза.
Приведём этот одночлен к стандартному виду. Для этого нужно перемножить все его составляющие.
1. Сгруппируем числовые множители и степени одинаковых переменных:
$(3 \cdot (-2)) \cdot (x^2 \cdot x \cdot x) \cdot y \cdot z$
2. Вычислим произведение числовых коэффициентов:
$3 \cdot (-2) = -6$
3. Упростим произведение степеней для каждой переменной, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^2 \cdot x \cdot x = x^2 \cdot x^1 \cdot x^1 = x^{2+1+1} = x^4$
Переменные $y$ и $z$ остаются без изменений, так как встречаются по одному разу.
4. Запишем полученные части вместе, соблюдая стандартный вид: сначала коэффициент, затем переменные в алфавитном порядке.
$-6x^4yz$
Это и есть стандартный вид исходного одночлена.

Ответ: Примером одночлена не в стандартном виде является $3x^2y \cdot (-2)xz \cdot x$. Его стандартный вид: $-6x^4yz$.

5. Составьте одночлен с переменными $x$, $y$ и с коэффициентом $1$.

Одночлен представляет собой выражение, которое является произведением чисел и переменных, возведенных в натуральную степень. В общем виде одночлен с переменными $x$ и $y$ можно записать как $k \cdot x^n \cdot y^m$, где:
- $k$ — это числовой коэффициент;
- $x$ и $y$ — переменные;
- $n$ и $m$ — показатели степени, которые должны быть натуральными числами (т.е. $1, 2, 3, ...$), поскольку по условию переменные $x$ и $y$ должны присутствовать в одночлене.

В соответствии с заданием, нам нужно составить одночлен, удовлетворяющий следующим условиям:
1. Он должен содержать переменные $x$ и $y$.
2. Его коэффициент $k$ должен быть равен 1.

Для составления одночлена выберем самые простые натуральные показатели для степеней переменных: пусть $n = 1$ и $m = 1$. Коэффициент, согласно условию, равен $k = 1$.

Подставим эти значения в общую формулу одночлена:
$1 \cdot x^1 \cdot y^1$

В алгебре принято не писать коэффициент 1, а также показатель степени 1. Поэтому полученное выражение упрощается и принимает стандартный вид: $xy$.

Этот одночлен ($xy$) полностью удовлетворяет условиям задачи: он содержит переменные $x$ и $y$, и его коэффициент равен 1. Стоит отметить, что существует бесконечно много других правильных ответов, например $x^2y$, $xy^3$, $x^5y^8$ и так далее. Мы привели простейший из них.

Ответ: $xy$

6. Составьте одночлен с переменными $a$, $b$ и с коэффициентом $-1$.

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение числового коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательные целые степени.

Согласно условию задачи, нам нужно составить одночлен, который удовлетворяет следующим требованиям:

• Содержит переменные: $a$, $b$ и $c$.
• Имеет коэффициент, равный $-1$.

Для этого необходимо перемножить коэффициент на указанные переменные. Поскольку степени переменных не заданы, мы можем выбрать любые натуральные числа в качестве их показателей (степень должна быть не меньше 1, чтобы переменная присутствовала в одночлене). Самым простым и распространенным вариантом является выбор степени $1$ для каждой переменной.

Таким образом, мы получаем произведение: $ (-1) \cdot a^1 \cdot b^1 \cdot c^1 $.

В алгебре принято опускать коэффициент $1$ (и $-1$, оставляя только знак минус) и не указывать первую степень у переменной. Следовательно, стандартный вид этого одночлена: $ -abc $.

Важно понимать, что это лишь один из возможных правильных ответов. Другими примерами могут быть $ -a^2bc $, $ -ab^5c^3 $ или любой другой одночлен с коэффициентом $-1$ и переменными $a, b, c$ в любых натуральных степенях.

Ответ: $ -abc $

26.6 а) $0.6x^2y^3z \cdot 0.8xy^2z$;

б) $6\frac{1}{2}n^2q \cdot 7\frac{1}{13}nq^3$;

в) $0.75d^3 \cdot (-0.1d^4)$;

г) $-\frac{3}{20}x^2y \cdot \frac{40}{51}xy^2$.

а) $0,6x^2y^3z \cdot 0,8xy^2z$

Для того чтобы умножить одночлены, необходимо последовательно выполнить следующие действия: умножить числовые коэффициенты, а затем умножить степени с одинаковыми основаниями (переменными).

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$(0,6 \cdot 0,8) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^2) \cdot (z \cdot z)$

1. Умножаем числовые коэффициенты:

$0,6 \cdot 0,8 = 0,48$

2. Умножаем переменные. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются (согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$

$y^3 \cdot y^2 = y^{3+2} = y^5$

$z \cdot z = z^{1+1} = z^2$

3. Объединяем полученные результаты:

$0,48x^3y^5z^2$

Ответ: $0,48x^3y^5z^2$

б) $6\frac{1}{2}n^2q \cdot 7\frac{1}{13}nq^3$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$6\frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{13}{2}$

$7\frac{1}{13} = \frac{7 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{91 + 1}{13} = \frac{92}{13}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{13}{2}n^2q \cdot \frac{92}{13}nq^3$

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$(\frac{13}{2} \cdot \frac{92}{13}) \cdot (n^2 \cdot n) \cdot (q \cdot q^3)$

1. Умножаем коэффициенты, сокращая дроби:

$\frac{13}{2} \cdot \frac{92}{13} = \frac{13 \cdot 92}{2 \cdot 13} = \frac{92}{2} = 46$

2. Умножаем переменные:

$n^2 \cdot n = n^{2+1} = n^3$

$q \cdot q^3 = q^{1+3} = q^4$

3. Объединяем результаты:

$46n^3q^4$

Ответ: $46n^3q^4$

в) $0,75d^3 \cdot (-0,1d^4)$

Умножаем одночлены, группируя коэффициенты и переменные.

$(0,75 \cdot (-0,1)) \cdot (d^3 \cdot d^4)$

1. Умножаем числовые коэффициенты:

$0,75 \cdot (-0,1) = -0,075$

2. Умножаем переменные:

$d^3 \cdot d^4 = d^{3+4} = d^7$

3. Объединяем результаты:

$-0,075d^7$

Ответ: $-0,075d^7$

г) $-\frac{3}{20}x^2y \cdot \frac{40}{51}xy^2$

Умножаем одночлены, группируя коэффициенты и переменные.

$(-\frac{3}{20} \cdot \frac{40}{51}) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^2)$

1. Умножаем коэффициенты-дроби. Перед умножением выполним сокращение:

$-\frac{3}{20} \cdot \frac{40}{51} = -\frac{3 \cdot 40}{20 \cdot 51} = -\frac{3 \cdot (2 \cdot 20)}{20 \cdot (3 \cdot 17)}$

Сокращаем $20$ в числителе и знаменателе, а также $3$:

$-\frac{2}{17}$

2. Умножаем переменные:

$x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$

$y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$

3. Объединяем результаты:

$-\frac{2}{17}x^3y^3$

Ответ: $-\frac{2}{17}x^3y^3$

26.7 а) $5.1p^3q^4 \cdot (-2pq^8);$

б) $-2.5z^3 \cdot \left(\frac{3}{5}z^4\right);$

в) $-7.81abc^3 \cdot 2ab^2c;$

г) $\left(-\frac{3}{4}\right)xy^2 \cdot (-0.4x^2y^3).$

а) Чтобы умножить два одночлена $5,1p^3q^4$ и $(-2pq^8)$, необходимо выполнить умножение их коэффициентов и умножение степеней с одинаковыми основаниями (переменными).

1. Умножим числовые коэффициенты: $5,1 \cdot (-2) = -10,2$.

2. Умножим переменные. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Для переменной $p$: $p^3 \cdot p = p^{3+1} = p^4$.

Для переменной $q$: $q^4 \cdot q^8 = q^{4+8} = q^{12}$.

3. Объединим полученные результаты в один одночлен:

$5,1p^3q^4 \cdot (-2pq^8) = (5,1 \cdot -2) \cdot (p^3 \cdot p) \cdot (q^4 \cdot q^8) = -10,2p^4q^{12}$.

Ответ: $-10,2p^4q^{12}$.

б) Умножим одночлены $-2,5z^3$ и $(\frac{3}{5}z^4)$.

1. Умножим коэффициенты. Для удобства представим десятичную дробь $-2,5$ в виде обыкновенной дроби: $-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$.

Теперь выполним умножение коэффициентов: $-\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

2. Умножим переменные: $z^3 \cdot z^4 = z^{3+4} = z^7$.

3. Объединим результаты:

$-2,5z^3 \cdot (\frac{3}{5}z^4) = -1,5z^7$.

Ответ: $-1,5z^7$.

в) Выполним умножение одночленов $-7,81abc^3$ и $2ab^2c$.

1. Умножим числовые коэффициенты: $-7,81 \cdot 2 = -15,62$.

2. Умножим переменные, складывая показатели степеней у одинаковых оснований:

Для $a$: $a \cdot a = a^{1+1} = a^2$.

Для $b$: $b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.

Для $c$: $c^3 \cdot c = c^{3+1} = c^4$.

3. Соединим все части в итоговый одночлен:

$-7,81abc^3 \cdot 2ab^2c = (-7,81 \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) \cdot (c^3 \cdot c) = -15,62a^2b^3c^4$.

Ответ: $-15,62a^2b^3c^4$.

г) Умножим одночлены $(-\frac{3}{4}xy^2)$ и $(-0,4x^2y^3)$.

1. Умножим коэффициенты. Сначала представим десятичную дробь $-0,4$ в виде обыкновенной: $-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Теперь перемножим коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.

2. Умножим переменные:

Для $x$: $x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.

Для $y$: $y^2 \cdot y^3 = y^{2+3} = y^5$.

3. Объединим результаты:

$(-\frac{3}{4}xy^2) \cdot (-0,4x^2y^3) = 0,3x^3y^5$.

Ответ: $0,3x^3y^5$.

Возведите одночлен в указанную степень:

26.8 а) $(3a^2c)^2$;

б) $(-\frac{1}{3}xy^2)^4$;

в) $(-0.2c^3d)^4$;

г) $(-\frac{1}{2}abc)^5$.

а) Для возведения одночлена в степень необходимо каждый его множитель возвести в эту степень. Используем свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Возведем в квадрат каждый множитель одночлена $3a^2c$:
Коэффициент: $3^2 = 9$.
Переменная $a$: $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.
Переменная $c$: $c^2$.

Результат: $(3a^2c)^2 = 9a^4c^2$.

Ответ: $9a^4c^2$

б) Возводим одночлен $(-\frac{1}{3}xy^2)$ в четвертую степень. При возведении отрицательного числа в четную степень (4) результат будет положительным.

$(-\frac{1}{3}xy^2)^4 = (-\frac{1}{3})^4 \cdot x^4 \cdot (y^2)^4$.

Вычисляем каждый множитель:
$(-\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.
$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$.

Соединяем множители: $\frac{1}{81}x^4y^8$.

Ответ: $\frac{1}{81}x^4y^8$

в) Возводим одночлен $(-0,2c^3d)$ в четвертую степень. Так как степень четная, знак минус у коэффициента исчезнет.

$(-0,2c^3d)^4 = (-0,2)^4 \cdot (c^3)^4 \cdot d^4$.

Вычисляем каждый множитель:
$(-0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016$.
$(c^3)^4 = c^{3 \cdot 4} = c^{12}$.
$d^4$.

Соединяем множители: $0,0016c^{12}d^4$.

Ответ: $0,0016c^{12}d^4$

г) Возводим одночлен $(-\frac{1}{2}abc)$ в пятую степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (5) результат будет отрицательным.

$(-\frac{1}{2}abc)^5 = (-\frac{1}{2})^5 \cdot a^5 \cdot b^5 \cdot c^5$.

Вычисляем коэффициент:
$(-\frac{1}{2})^5 = -(\frac{1^5}{2^5}) = -\frac{1}{32}$.

Соединяем все части: $-\frac{1}{32}a^5b^5c^5$.

Ответ: $-\frac{1}{32}a^5b^5c^5$

26.9 a) $(-6x^3y^3)^0$;

б) $-(-5a^3x^2)^3$;

в) $(-10x^2y^4)^5$;

г) $-(-2ax^3y^2)^4$.

а) Чтобы решить данное выражение, воспользуемся свойством степени: любое число или выражение (не равное нулю) в нулевой степени равно единице. То есть, $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.

Предполагая, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, выражение в скобках не равно нулю. Следовательно:

$(-6x^3y^3)^0 = 1$

Ответ: $1$.

б) Для упрощения этого выражения используем свойство возведения произведения в степень $(abc)^n = a^nb^nc^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Сначала возведем в куб одночлен, стоящий в скобках:

$(-5a^3x^2)^3 = (-5)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (x^2)^3 = -125 \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot x^{2 \cdot 3} = -125a^9x^6$

Теперь учтем знак минуса, который стоит перед скобкой:

$-(-125a^9x^6) = 125a^9x^6$

Ответ: $125a^9x^6$.

в) Возведем одночлен в пятую степень. Для этого каждый множитель в скобках нужно возвести в эту степень.

$(-10x^2y^4)^5 = (-10)^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^4)^5$

Вычислим значение каждого множителя:

$(-10)^5 = -100000$ (отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным)

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

$(y^4)^5 = y^{4 \cdot 5} = y^{20}$

Объединим результаты:

$-100000x^{10}y^{20}$

Ответ: $-100000x^{10}y^{20}$.

г) Сначала возведем в четвертую степень выражение в скобках. Так как степень четная (4), результат возведения отрицательного числа будет положительным.

$(-2ax^3y^2)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^2)^4$

Выполним вычисления:

$(-2)^4 = 16$

$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$

Таким образом, выражение в скобках равно $16a^4x^{12}y^8$.

Теперь применим знак минуса, стоящий перед скобками:

$-(16a^4x^{12}y^8) = -16a^4x^{12}y^8$

Ответ: $-16a^4x^{12}y^8$.

26.10 Представьте данный одночлен в виде произведения одночленов:

а) $56x^2y^3z^8;$

в) $0,21c^9d^{14}f^{43};$

б) $102m^2n^3p^4;$

г) $\frac{1}{2}r^7s^9t^{12}.$

Задача состоит в том, чтобы представить данный одночлен в виде произведения других одночленов. Такое представление не является единственным, существует множество верных решений. Мы приведем один из возможных вариантов для каждого пункта.

Рассмотрим одночлен $56x^2y^3z^8$.

1. Разложим на множители коэффициент $56$. Например, $56 = 7 \cdot 8$.

2. Разложим на множители степени переменных, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Например: $x^2 = x \cdot x$, $y^3 = y \cdot y^2$, $z^8 = z^3 \cdot z^5$.

3. Скомбинируем полученные множители в два новых одночлена: $(7xyz^3) \cdot (8xy^2z^5)$.

Проверка: $(7 \cdot 8) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y^2) \cdot (z^3 \cdot z^5) = 56x^{1+1}y^{1+2}z^{3+5} = 56x^2y^3z^8$.

Ответ: $(7xyz^3) \cdot (8xy^2z^5)$.

Рассмотрим одночлен $102m^2n^3p^4$. Представим его в виде произведения двух одночленов.

1. Разложим коэффициент $102$ на множители, например, $102 = 6 \cdot 17$.

2. Распределим степени переменных: $m^2 = m \cdot m$, $n^3 = n^2 \cdot n$, $p^4 = p^2 \cdot p^2$.

3. Объединим множители в два одночлена: $(6mn^2p^2) \cdot (17mnp^2)$.

Проверка: $(6 \cdot 17) \cdot (m \cdot m) \cdot (n^2 \cdot n) \cdot (p^2 \cdot p^2) = 102m^{1+1}n^{2+1}p^{2+2} = 102m^2n^3p^4$.

Ответ: $(6mn^2p^2) \cdot (17mnp^2)$.

Рассмотрим одночлен $0.21c^9d^{14}f^{43}$. Представим его в виде произведения.

1. Разложим коэффициент $0.21$ на множители: $0.21 = 0.3 \cdot 0.7$.

2. Распределим степени переменных: $c^9 = c^5 \cdot c^4$, $d^{14} = d^7 \cdot d^7$, $f^{43} = f^{20} \cdot f^{23}$.

3. Объединим множители: $(0.3c^5d^7f^{20}) \cdot (0.7c^4d^7f^{23})$.

Проверка: $(0.3 \cdot 0.7) \cdot (c^5 \cdot c^4) \cdot (d^7 \cdot d^7) \cdot (f^{20} \cdot f^{23}) = 0.21c^{5+4}d^{7+7}f^{20+23} = 0.21c^9d^{14}f^{43}$.

Ответ: $(0.3c^5d^7f^{20}) \cdot (0.7c^4d^7f^{23})$.

Рассмотрим одночлен $\frac{1}{2}r^7s^9t^{12}$. Представим его в виде произведения.

1. Разложим коэффициент $\frac{1}{2}$ на множители. Например, можно взять $\frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{4}$.

2. Распределим степени переменных: $r^7 = r^2 \cdot r^5$, $s^9 = s^4 \cdot s^5$, $t^{12} = t^6 \cdot t^6$.

3. Объединим множители: $(2r^2s^4t^6) \cdot (\frac{1}{4}r^5s^5t^6)$.

Проверка: $(2 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (r^2 \cdot r^5) \cdot (s^4 \cdot s^5) \cdot (t^6 \cdot t^6) = \frac{2}{4}r^{2+5}s^{4+5}t^{6+6} = \frac{1}{2}r^7s^9t^{12}$.

Ответ: $(2r^2s^4t^6) \cdot (\frac{1}{4}r^5s^5t^6)$.

26.11 Представьте одночлен $-24x^6y^9$ в виде произведения:

а) двух одночленов;

б) трёх одночленов;

в) четырёх одночленов;

г) пяти одночленов.

а) двух одночленов

Чтобы представить одночлен $-24x^6y^9$ в виде произведения двух одночленов, необходимо разложить на два множителя его коэффициент и степени переменных. Существует множество вариантов, приведем один из них.

1. Разобьем коэффициент $-24$ на два множителя: $-24 = 2 \cdot (-12)$.

2. Разобьем переменную $x^6$ на два множителя, используя правило $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Сумма степеней должна быть равна 6: $x^6 = x^1 \cdot x^5$.

3. Аналогично для $y^9$ (сумма степеней 9): $y^9 = y^3 \cdot y^6$.

Теперь сгруппируем множители в два одночлена. Первый одночлен будет $(2xy^3)$, а второй $(-12x^5y^6)$. Их произведение: $(2xy^3) \cdot (-12x^5y^6) = -24x^6y^9$.

Ответ: $(2xy^3) \cdot (-12x^5y^6)$

б) трёх одночленов

Для представления в виде произведения трёх одночленов, разложим коэффициент и степени переменных на три множителя.

1. Коэффициент: $-24 = (-2) \cdot 3 \cdot 4$.

2. Переменная $x^6$ (сумма степеней 6): $x^6 = x^2 \cdot x^2 \cdot x^2$.

3. Переменная $y^9$ (сумма степеней 9): $y^9 = y^3 \cdot y^3 \cdot y^3$.

Комбинируя множители, получаем три одночлена: $(-2x^2y^3)$, $(3x^2y^3)$ и $(4x^2y^3)$. Их произведение равно $-24x^6y^9$.

Ответ: $(-2x^2y^3) \cdot (3x^2y^3) \cdot (4x^2y^3)$

в) четырёх одночленов

Для представления в виде произведения четырёх одночленов, разложим коэффициент и степени переменных на четыре множителя.

1. Коэффициент: $-24 = (-1) \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$.

2. Переменная $x^6$ (сумма степеней 6): $x^6 = x \cdot x \cdot x^2 \cdot x^2$.

3. Переменная $y^9$ (сумма степеней 9): $y^9 = y \cdot y^2 \cdot y^3 \cdot y^3$.

Комбинируя множители, получаем четыре одночлена: $(-xy)$, $(2xy^2)$, $(3x^2y^3)$ и $(4x^2y^3)$. Их произведение равно $-24x^6y^9$.

Ответ: $(-xy) \cdot (2xy^2) \cdot (3x^2y^3) \cdot (4x^2y^3)$

г) пяти одночленов

Для представления в виде произведения пяти одночленов, разложим коэффициент и степени переменных на пять множителей.

1. Коэффициент: $-24 = (-1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$.

2. Переменная $x^6$ (сумма степеней 6): $x^6 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x^2$.

3. Переменная $y^9$ (сумма степеней 9): $y^9 = y \cdot y \cdot y^2 \cdot y^2 \cdot y^3$.

Комбинируя множители, получаем пять одночленов: $(-xy)$, $(xy)$, $(2xy^2)$, $(3xy^2)$ и $(4x^2y^3)$. Их произведение равно $-24x^6y^9$.

Ответ: $(-xy) \cdot (xy) \cdot (2xy^2) \cdot (3xy^2) \cdot (4x^2y^3)$

26.12 Замените символ * таким одночленом, чтобы выполнялось равенство:

а) $*\cdot 3b^2 = 9b^3;$

б) $8a^2b^4 \cdot * = -8a^5b^5;$

в) $-4a^3b^4 \cdot * = 16a^7b^9;$

г) $-17a^8b^{12} \cdot * = -34a^9b^{13}.$

а) Чтобы найти неизвестный множитель, обозначенный символом *, нужно произведение ($9b^3$) разделить на известный множитель ($3b^2$).

$* = \frac{9b^3}{3b^2}$

Для этого разделим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя правило деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$* = (\frac{9}{3}) \cdot (\frac{b^3}{b^2}) = 3 \cdot b^{3-2} = 3b^1 = 3b$

Проверка: $3b \cdot 3b^2 = (3 \cdot 3) \cdot (b \cdot b^2) = 9b^3$. Равенство верно.

Ответ: $3b$

б) В равенстве $8a^2b^4 \cdot * = -8a^5b^5$ искомый одночлен * находится делением произведения ($-8a^5b^5$) на известный множитель ($8a^2b^4$).

$* = \frac{-8a^5b^5}{8a^2b^4}$

Выполним деление:

$* = (\frac{-8}{8}) \cdot (\frac{a^5}{a^2}) \cdot (\frac{b^5}{b^4}) = -1 \cdot a^{5-2} \cdot b^{5-4} = -a^3b$

Проверка: $8a^2b^4 \cdot (-a^3b) = (8 \cdot -1) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^4 \cdot b) = -8a^5b^5$. Равенство верно.

Ответ: $-a^3b$

в) В равенстве $-4a^3b^4 \cdot * = 16a^7b^9$ найдём * как частное от деления $16a^7b^9$ на $-4a^3b^4$.

$* = \frac{16a^7b^9}{-4a^3b^4}$

Выполним деление:

$* = (\frac{16}{-4}) \cdot (\frac{a^7}{a^3}) \cdot (\frac{b^9}{b^4}) = -4 \cdot a^{7-3} \cdot b^{9-4} = -4a^4b^5$

Проверка: $-4a^3b^4 \cdot (-4a^4b^5) = (-4 \cdot -4) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot (b^4 \cdot b^5) = 16a^7b^9$. Равенство верно.

Ответ: $-4a^4b^5$

г) В равенстве $-17a^8b^{12} \cdot * = -34a^9b^{13}$ найдём * делением.

$* = \frac{-34a^9b^{13}}{-17a^8b^{12}}$

Выполним деление:

$* = (\frac{-34}{-17}) \cdot (\frac{a^9}{a^8}) \cdot (\frac{b^{13}}{b^{12}}) = 2 \cdot a^{9-8} \cdot b^{13-12} = 2ab$

Проверка: $-17a^8b^{12} \cdot (2ab) = (-17 \cdot 2) \cdot (a^8 \cdot a) \cdot (b^{12} \cdot b) = -34a^9b^{13}$. Равенство верно.

Ответ: $2ab$

26.13 Возведите одночлен:

а) $6x^3y^6$ в квадрат;

Б) $-2ab^3$ в четвёртую степень;

В) $-m^3n$ в пятую степень;

Г) $-3a^2bc^3$ в куб.

а) Чтобы возвести одночлен $6x^3y^6$ в квадрат (во вторую степень), необходимо каждый множитель этого одночлена возвести в квадрат. При возведении степени в степень их показатели перемножаются.
$(6x^3y^6)^2 = 6^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^6)^2 = 36 \cdot x^{3 \cdot 2} \cdot y^{6 \cdot 2} = 36x^6y^{12}$.
Ответ: $36x^6y^{12}$.

б) Чтобы возвести одночлен $-2ab^3$ в четвёртую степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень. Так как степень чётная (4), результат будет положительным.
$(-2ab^3)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 \cdot (b^3)^4 = 16 \cdot a^4 \cdot b^{3 \cdot 4} = 16a^4b^{12}$.
Ответ: $16a^4b^{12}$.

в) Чтобы возвести одночлен $-m^3n$ в пятую степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень. Так как степень нечётная (5), знак минус сохранится.
$(-m^3n)^5 = (-1)^5 \cdot (m^3)^5 \cdot n^5 = -1 \cdot m^{3 \cdot 5} \cdot n^5 = -m^{15}n^5$.
Ответ: $-m^{15}n^5$.

г) Чтобы возвести одночлен $-3a^2bc^3$ в куб (в третью степень), необходимо каждый множитель возвести в эту степень. Так как степень нечётная (3), знак минус сохранится.
$(-3a^2bc^3)^3 = (-3)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 \cdot (c^3)^3 = -27 \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot b^3 \cdot c^{3 \cdot 3} = -27a^6b^3c^9$.
Ответ: $-27a^6b^3c^9$.