Страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что такое одночлен? Что называют коэффициентом одночлена?

Что такое одночлен?

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Иными словами, одночлен не содержит операций сложения, вычитания и деления на переменную.

Примеры одночленов:
- Отдельные числа: $5, -12, 0.7$
- Отдельные переменные: $x, a, z$
- Произведения чисел и переменных в различных степенях: $7ab$, $-3x^2y$, $\frac{1}{2}m^5n^2$

Примеры выражений, которые не являются одночленами:
- $x + y$ (содержит сложение)
- $a - b^2$ (содержит вычитание)
- $\frac{8}{c}$ (содержит деление на переменную)

Ответ: Одночленом называется алгебраическое выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их натуральных степеней.

Что называют коэффициентом одночлена?

Коэффициентом одночлена называют его числовой множитель, когда одночлен записан в стандартном виде.

Стандартный вид одночлена — это такая его запись, в которой на первом месте стоит единственный числовой множитель (коэффициент), а за ним следуют переменные (обычно в алфавитном порядке), каждая из которых возведена в соответствующую степень и встречается в записи только один раз.

Например, чтобы найти коэффициент одночлена $4x^2y \cdot (-2)xy^3$, его сначала нужно привести к стандартному виду. Для этого перемножаем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями:
$4x^2y \cdot (-2)xy^3 = (4 \cdot (-2)) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^1 \cdot y^3) = -8x^{2+1}y^{1+3} = -8x^3y^4$
В полученном одночлене $-8x^3y^4$ числовой множитель равен $-8$. Это и есть его коэффициент.

Другие примеры:
- У одночлена $12a^2b$ коэффициент равен $12$.
- У одночлена $-0.5xyz$ коэффициент равен $-0.5$.
- Если числовой множитель равен $1$, его принято опускать. Например, у одночлена $a^3b$ коэффициент равен $1$, так как $a^3b = 1 \cdot a^3b$.
- Если перед буквенной частью стоит только знак «минус», то коэффициент равен $-1$. Например, у одночлена $-c^5$ коэффициент равен $-1$, так как $-c^5 = -1 \cdot c^5$.

Ответ: Коэффициентом одночлена называют числовой множитель в одночлене, записанном в стандартном виде.

2. Можно ли назвать одночленом выражение $2a^3bc^2$? $2a^3 + bc^2$?

Давайте разберем каждое выражение по отдельности, основываясь на определении одночлена.

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Одночлен не содержит операций сложения и вычитания.

Выражение $2a^3bc^2$

Это выражение состоит из произведения числового коэффициента $2$, переменной $a$ в степени $3$, переменной $b$ в степени $1$ (которая обычно не пишется) и переменной $c$ в степени $2$. Так как все элементы соединены операцией умножения и отсутствуют сложение или вычитание, это выражение полностью соответствует определению одночлена.

Ответ: да, выражение $2a^3bc^2$ можно назвать одночленом.

Выражение $2a^3 + bc^2$

Это выражение является суммой двух одночленов: $2a^3$ и $bc^2$. Наличие знака сложения «+» между ними означает, что это не одночлен. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом. В данном случае, так как слагаемых два, это двучлен (или бином).

Ответ: нет, выражение $2a^3 + bc^2$ нельзя назвать одночленом, так как это многочлен.

3. Расскажите, как привести одночлен к стандартному виду, и проиллюстрируйте свой рассказ на примере одночлена $3abc^2a^3bc^2$.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо выполнить упорядочивание его множителей. Стандартный вид одночлена представляет собой произведение числового множителя, который называется коэффициентом и записывается на первом месте, и степеней различных переменных, записанных, как правило, в алфавитном порядке. Каждая переменная в стандартном виде встречается только один раз.
Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду:
1. Найти произведение всех числовых множителей и записать его в качестве коэффициента на первое место.
2. Собрать все степени с одинаковым буквенным основанием и перемножить их, сложив показатели степеней. Для этого используется свойство степени $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
3. Записать полученные степени переменных после коэффициента в алфавитном порядке.

Проиллюстрируем этот процесс на примере одночлена $3abc^2a^3bc^2$.

1. Находим коэффициент. В данном выражении единственный числовой множитель — это 3. Следовательно, коэффициент равен 3.

2. Группируем и упрощаем переменные. Сгруппируем множители с одинаковыми переменными:
$(a \cdot a^3) \cdot (b \cdot b) \cdot (c^2 \cdot c^2)$
Теперь, используя свойство умножения степеней, найдем произведение для каждой переменной. Следует помнить, что переменная без указания степени имеет показатель, равный 1 (например, $a = a^1$).
$a \cdot a^3 = a^1 \cdot a^3 = a^{1+3} = a^4$
$b \cdot b = b^1 \cdot b^1 = b^{1+1} = b^2$
$c^2 \cdot c^2 = c^{2+2} = c^4$

3. Формируем стандартный вид. Записываем коэффициент, а за ним — полученные степени переменных в алфавитном порядке:
$3a^4b^2c^4$

Это и есть стандартный вид исходного одночлена.

Ответ: $3a^4b^2c^4$.

25.39 В прямоугольном параллелепипеде длина в 3 раза больше ширины и в 2 раза меньше высоты. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна 864 $ \text{см}^2 $.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны: $a$ - длина, $b$ - ширина, $c$ - высота.

Исходя из условий задачи, составим систему соотношений между измерениями:
1) Длина в 3 раза больше ширины, следовательно: $a = 3b$.
2) Длина в 2 раза меньше высоты, следовательно: $a = \frac{c}{2}$, что равносильно $c = 2a$.

Для решения задачи выразим все измерения через одну переменную. Удобнее всего выразить их через ширину $b$. Примем ширину за $x$:
Ширина: $b = x$ см.
Тогда длина: $a = 3b = 3x$ см.
Тогда высота: $c = 2a = 2(3x) = 6x$ см.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$S = 2(ab + ac + bc)$

По условию задачи, площадь поверхности равна 864 см². Подставим наши выражения для $a, b, c$ в формулу и составим уравнение:
$2 \cdot ((3x \cdot x) + (3x \cdot 6x) + (x \cdot 6x)) = 864$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$2 \cdot (3x^2 + 18x^2 + 6x^2) = 864$
$2 \cdot (27x^2) = 864$
$54x^2 = 864$
$x^2 = \frac{864}{54}$
$x^2 = 16$
$x = \sqrt{16} = 4$ (мы берем только положительное значение корня, так как $x$ обозначает физическую величину - ширину).

Итак, мы нашли $x = 4$. Теперь можем вычислить все измерения параллелепипеда:
Ширина: $b = x = 4$ см.
Длина: $a = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Высота: $c = 6x = 6 \cdot 4 = 24$ см.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда: 4 см, 12 см и 24 см.

25.40 В прямоугольном параллелепипеде ширина в 2 раза меньше высоты и составляет $\frac{4}{5}$ его длины. Найдите измерения параллелепипеда, если площадь его поверхности равна 736 м².

Пусть $w$ - ширина, $l$ - длина и $h$ - высота прямоугольного параллелепипеда.

Согласно условию задачи, ширина в 2 раза меньше высоты, что можно записать в виде уравнения:
$h = 2w$

Также известно, что ширина составляет $\frac{4}{5}$ его длины:
$w = \frac{4}{5}l$
Из этого соотношения выразим длину $l$ через ширину $w$:
$l = \frac{5}{4}w$

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$S = 2(lw + lh + wh)$

По условию $S = 736$ м². Подставим в формулу площади поверхности выражения для $l$ и $h$ через $w$:
$736 = 2 \left( \left(\frac{5}{4}w\right) \cdot w + \left(\frac{5}{4}w\right) \cdot (2w) + w \cdot (2w) \right)$

Разделим обе части уравнения на 2:
$368 = \frac{5}{4}w^2 + \frac{10}{4}w^2 + 2w^2$

Приведем все слагаемые в правой части к общему знаменателю 4:
$368 = \frac{5}{4}w^2 + \frac{10}{4}w^2 + \frac{8}{4}w^2$

Сложим коэффициенты при $w^2$:
$368 = \frac{5 + 10 + 8}{4}w^2$
$368 = \frac{23}{4}w^2$

Теперь найдем $w^2$:
$w^2 = \frac{368 \cdot 4}{23}$
Так как $368 \div 23 = 16$, получаем:
$w^2 = 16 \cdot 4 = 64$
$w = \sqrt{64} = 8$ м.

Мы нашли ширину. Теперь найдем длину и высоту:
Длина: $l = \frac{5}{4}w = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10$ м.
Высота: $h = 2w = 2 \cdot 8 = 16$ м.

Таким образом, измерения параллелепипеда: длина - 10 м, ширина - 8 м, высота - 16 м.
Ответ: 10 м, 8 м, 16 м.

25.41 Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как $2:3:5$, а площадь его поверхности равна $62 дм^2$. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их отношение составляет $2:3:5$. Это означает, что мы можем ввести коэффициент пропорциональности $x$ и выразить измерения следующим образом:
$a = 2x$ дм
$b = 3x$ дм
$c = 5x$ дм

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$S = 2(ab + bc + ac)$

В условии дано, что площадь поверхности равна $S = 62$ дм². Подставим наши выражения для $a$, $b$, и $c$ в формулу площади поверхности и приравняем к заданному значению:
$2((2x)(3x) + (3x)(5x) + (2x)(5x)) = 62$

Теперь решим полученное уравнение:
$2(6x^2 + 15x^2 + 10x^2) = 62$
$2(31x^2) = 62$
$62x^2 = 62$
$x^2 = \frac{62}{62}$
$x^2 = 1$

Так как коэффициент $x$ связан с длиной, он должен быть положительным числом. Поэтому:
$x = \sqrt{1} = 1$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти фактические измерения параллелепипеда:
Длина: $a = 2x = 2 \cdot 1 = 2$ дм
Ширина: $b = 3x = 3 \cdot 1 = 3$ дм
Высота: $c = 5x = 5 \cdot 1 = 5$ дм

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 дм, 3 дм и 5 дм.

Найдите произведение данных одночленов:

26.1 а) $2x \cdot 3y;$

б) $7a \cdot 5b;$

в) $31c \cdot 3d;$

г) $15z \cdot 3t.$

а) Чтобы найти произведение данных одночленов $2x$ и $3y$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и их буквенные части. Используя переместительный и сочетательный законы умножения, мы можем сгруппировать множители следующим образом: $2x \cdot 3y = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot y)$.
Выполним умножение числовых коэффициентов: $2 \cdot 3 = 6$.
Выполним умножение буквенных частей: $x \cdot y = xy$.
Объединив результаты, получаем итоговый одночлен $6xy$.
Ответ: $6xy$.

б) Для умножения одночленов $7a$ и $5b$ мы перемножаем их коэффициенты (7 и 5) и их буквенные части ($a$ и $b$).
Запишем выражение, сгруппировав множители: $7a \cdot 5b = (7 \cdot 5) \cdot (a \cdot b)$.
Произведение коэффициентов: $7 \cdot 5 = 35$.
Произведение буквенных частей: $a \cdot b = ab$.
В результате получаем одночлен $35ab$.
Ответ: $35ab$.

в) Произведение одночленов $31c$ и $3d$ находится путем умножения их коэффициентов (31 и 3) и их буквенных частей ($c$ и $d$).
Сгруппируем множители: $31c \cdot 3d = (31 \cdot 3) \cdot (c \cdot d)$.
Вычислим произведение числовых коэффициентов: $31 \cdot 3 = 93$.
Произведение буквенных множителей равно $c \cdot d = cd$.
Соединив части, получаем $93cd$.
Ответ: $93cd$.

г) Чтобы найти произведение одночленов $15z$ и $3t$, перемножаем их числовые коэффициенты (15 и 3) и буквенные части ($z$ и $t$).
Выполним группировку множителей: $15z \cdot 3t = (15 \cdot 3) \cdot (z \cdot t)$.
Вычисляем произведение коэффициентов: $15 \cdot 3 = 45$.
Вычисляем произведение буквенных частей: $z \cdot t = zt$.
Таким образом, итоговый одночлен равен $45zt$.
Ответ: $45zt$.

26.2 а) $7a \cdot 2b \cdot 3c;$

б) $10x^2 \cdot 2y^2 \cdot 3z^3;$

в) $10m \cdot 5n \cdot 2q;$

г) $17p^2 \cdot 2q^2 \cdot 0,5s^3.$

а) Чтобы найти произведение одночленов $7a \cdot 2b \cdot 3c$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и буквенные части отдельно.
Сначала сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:
$7a \cdot 2b \cdot 3c = (7 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (a \cdot b \cdot c)$
Вычислим произведение коэффициентов:
$7 \cdot 2 \cdot 3 = 14 \cdot 3 = 42$
Теперь перемножим буквенные части:
$a \cdot b \cdot c = abc$
Соединив результаты, получим итоговый одночлен: $42abc$.
Ответ: $42abc$

б) Для того чтобы выполнить умножение $10x^2 \cdot 2y^2 \cdot 3z^3$, мы воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сначала перемножим числовые коэффициенты, а затем буквенные множители.
Сгруппируем множители:
$(10 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (x^2 \cdot y^2 \cdot z^3)$
Найдем произведение числовых коэффициентов:
$10 \cdot 2 \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60$
Произведение буквенных частей:
$x^2 \cdot y^2 \cdot z^3 = x^2y^2z^3$
Объединяем полученные части: $60x^2y^2z^3$.
Ответ: $60x^2y^2z^3$

в) Чтобы найти произведение $10m \cdot 5n \cdot 2q$, перемножим отдельно коэффициенты и отдельно переменные.
Запишем выражение, сгруппировав множители:
$(10 \cdot 5 \cdot 2) \cdot (m \cdot n \cdot q)$
Вычислим произведение чисел:
$10 \cdot 5 \cdot 2 = 50 \cdot 2 = 100$
Вычислим произведение переменных:
$m \cdot n \cdot q = mnq$
Результатом является одночлен $100mnq$.
Ответ: $100mnq$

г) Для вычисления произведения $17p^2 \cdot 2q^2 \cdot 0,5s^3$ необходимо перемножить числовые коэффициенты и буквенные множители.
Сгруппируем их:
$(17 \cdot 2 \cdot 0,5) \cdot (p^2 \cdot q^2 \cdot s^3)$
Найдем произведение коэффициентов. Удобно сначала умножить 2 на 0,5:
$17 \cdot (2 \cdot 0,5) = 17 \cdot 1 = 17$
Найдем произведение буквенных частей:
$p^2 \cdot q^2 \cdot s^3 = p^2q^2s^3$
Объединив числовую и буквенную части, получаем $17p^2q^2s^3$.
Ответ: $17p^2q^2s^3$

26.3 a) $7x^2 \cdot 5x^2 \cdot 6x^3$;

б) $\frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{1}{3} b^3 \cdot \frac{1}{6} c^4$;

В) $71x^2y^3z^8 \cdot 2xyz$;

Г) $54c^2d^2f^3 \cdot cd^3f$.

а) Чтобы перемножить одночлены $7x^2$, $5x^2$ и $6x^3$, необходимо выполнить два действия: перемножить их числовые коэффициенты и перемножить их переменные части.
1. Перемножаем коэффициенты: $7 \cdot 5 \cdot 6 = 35 \cdot 6 = 210$.
2. Перемножаем переменные. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^2 \cdot x^2 \cdot x^3 = x^{2+2+3} = x^7$.
3. Объединяем полученные результаты: $210x^7$.
Ответ: $210x^7$

б) Чтобы найти произведение одночленов $\frac{1}{2}a^2$, $\frac{1}{3}b^3$ и $\frac{1}{6}c^4$, перемножим их коэффициенты и переменные части.
1. Перемножаем числовые коэффициенты: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{1}{36}$.
2. Перемножаем переменные части. Так как основания степеней ($a$, $b$, $c$) различны, мы просто записываем их друг за другом: $a^2b^3c^4$.
3. Объединяем результаты: $\frac{1}{36}a^2b^3c^4$.
Ответ: $\frac{1}{36}a^2b^3c^4$

в) Чтобы перемножить одночлены $71x^2y^3z^8$ и $2xyz$, сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
1. Перемножаем коэффициенты: $71 \cdot 2 = 142$.
2. Перемножаем переменные, складывая показатели степеней (учитывая, что $x=x^1$, $y=y^1$, $z=z^1$):
$x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$
$y^3 \cdot y = y^{3+1} = y^4$
$z^8 \cdot z = z^{8+1} = z^9$
3. Собираем все части вместе: $142x^3y^4z^9$.
Ответ: $142x^3y^4z^9$

г) Чтобы найти произведение одночленов $54c^2d^2f^3$ и $cd^3f$, поступим аналогично предыдущим примерам.
1. Коэффициент второго одночлена $cd^3f$ равен $1$. Перемножаем коэффициенты: $54 \cdot 1 = 54$.
2. Перемножаем переменные, складывая показатели степеней (учитывая, что $c=c^1$, $f=f^1$):
$c^2 \cdot c = c^{2+1} = c^3$
$d^2 \cdot d^3 = d^{2+3} = d^5$
$f^3 \cdot f = f^{3+1} = f^4$
3. Объединяем полученные результаты: $54c^3d^5f^4$.
Ответ: $54c^3d^5f^4$

26.4 а) $-5a^2b \cdot (-6ab^2)$;

б) $41c^2d \cdot (-4cd)$;

в) $-17x^3y \cdot (-2x^2y^2)$;

г) $-13m^2n^2p^3 \cdot (-2mn^2p)$.

а) Чтобы умножить одночлены $-5a^2b$ и $(-6ab^2)$, мы перемножаем их числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями по отдельности.

1. Умножаем коэффициенты: $(-5) \cdot (-6) = 30$.

2. Умножаем переменные с основанием $a$, складывая их показатели степеней: $a^2 \cdot a = a^{2+1} = a^3$.

3. Умножаем переменные с основанием $b$, складывая их показатели степеней: $b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.

4. Собираем все части вместе, чтобы получить итоговый одночлен.

Вычисление выглядит так: $(-5a^2b) \cdot (-6ab^2) = (-5 \cdot -6) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) = 30a^3b^3$.

Ответ: $30a^3b^3$

б) Умножим одночлены $41c^2d$ и $(-4cd)$.

1. Умножаем коэффициенты: $41 \cdot (-4) = -164$.

2. Умножаем переменные с основанием $c$: $c^2 \cdot c = c^{2+1} = c^3$.

3. Умножаем переменные с основанием $d$: $d \cdot d = d^{1+1} = d^2$.

4. Объединяем полученные результаты.

Вычисление: $(41c^2d) \cdot (-4cd) = (41 \cdot -4) \cdot (c^2 \cdot c) \cdot (d \cdot d) = -164c^3d^2$.

Ответ: $-164c^3d^2$

в) Умножим одночлены $-17x^3y$ и $(-2x^2y^2)$.

1. Умножаем коэффициенты: $(-17) \cdot (-2) = 34$.

2. Умножаем переменные с основанием $x$: $x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$.

3. Умножаем переменные с основанием $y$: $y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$.

4. Записываем итоговый одночлен.

Вычисление: $(-17x^3y) \cdot (-2x^2y^2) = (-17 \cdot -2) \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^2) = 34x^5y^3$.

Ответ: $34x^5y^3$

г) Умножим одночлены $-13m^2n^2p^3$ и $(-2mn^2p)$.

1. Умножаем коэффициенты: $(-13) \cdot (-2) = 26$.

2. Умножаем переменные с основанием $m$: $m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$.

3. Умножаем переменные с основанием $n$: $n^2 \cdot n^2 = n^{2+2} = n^4$.

4. Умножаем переменные с основанием $p$: $p^3 \cdot p = p^{3+1} = p^4$.

5. Соединяем все части в один одночлен.

Вычисление: $(-13m^2n^2p^3) \cdot (-2mn^2p) = (-13 \cdot -2) \cdot (m^2 \cdot m) \cdot (n^2 \cdot n^2) \cdot (p^3 \cdot p) = 26m^3n^4p^4$.

Ответ: $26m^3n^4p^4$

26.5 а) $0,2c^2d \cdot 5,4c^3d^3;$

б) $8x^2 \cdot \left(-\frac{3}{16}y\right);$

В) $-b^3 \cdot 0,5b^2;$

Г) $2\frac{1}{3}m^2p^3 \cdot 5\frac{1}{7}mp.$

а) Чтобы найти произведение одночленов, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями (сложив их показатели).

$0,2c^2d \cdot 5,4c^3d^3 = (0,2 \cdot 5,4) \cdot (c^2 \cdot c^3) \cdot (d^1 \cdot d^3)$

Вычисляем произведение числовых коэффициентов:
$0,2 \cdot 5,4 = 1,08$

Выполняем умножение степеней для каждой переменной, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$c^2 \cdot c^3 = c^{2+3} = c^5$
$d \cdot d^3 = d^{1+3} = d^4$

Объединяем полученные результаты: $1,08c^5d^4$.
Ответ: $1,08c^5d^4$

б) Умножаем числовые коэффициенты и переменные по отдельности.

$8x^2 \cdot (-\frac{3}{16}y) = (8 \cdot (-\frac{3}{16})) \cdot (x^2 \cdot y)$

Вычисляем произведение коэффициентов:
$8 \cdot (-\frac{3}{16}) = -\frac{8 \cdot 3}{16} = -\frac{24}{16}$

Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$-\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Переменные $x^2$ и $y$ не имеют общего основания, поэтому просто записываем их произведение: $x^2y$.

Собираем все вместе: $-1,5x^2y$.
Ответ: $-1,5x^2y$

в) Умножаем одночлены. Коэффициент первого одночлена $-b^3$ равен $-1$.

$-b^3 \cdot 0,5b^2 = (-1 \cdot 0,5) \cdot (b^3 \cdot b^2)$

Находим произведение коэффициентов:
$-1 \cdot 0,5 = -0,5$

Умножаем степени переменной $b$:
$b^3 \cdot b^2 = b^{3+2} = b^5$

Объединяем результаты: $-0,5b^5$.
Ответ: $-0,5b^5$

г) Для выполнения умножения сначала представим смешанные числа в виде неправильных дробей.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
$5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$

Исходное выражение принимает вид:
$\frac{7}{3}m^2p^3 \cdot \frac{36}{7}mp$

Перемножаем числовые коэффициенты:
$\frac{7}{3} \cdot \frac{36}{7} = \frac{7 \cdot 36}{3 \cdot 7} = \frac{36}{3} = 12$

Перемножаем степени переменных:
$m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$
$p^3 \cdot p = p^{3+1} = p^4$

Соединяем все части: $12m^3p^4$.
Ответ: $12m^3p^4$