Номер 25.39, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

25.39 В прямоугольном параллелепипеде длина в 3 раза больше ширины и в 2 раза меньше высоты. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна 864 $ \text{см}^2 $.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны: $a$ - длина, $b$ - ширина, $c$ - высота.

Исходя из условий задачи, составим систему соотношений между измерениями:
1) Длина в 3 раза больше ширины, следовательно: $a = 3b$.
2) Длина в 2 раза меньше высоты, следовательно: $a = \frac{c}{2}$, что равносильно $c = 2a$.

Для решения задачи выразим все измерения через одну переменную. Удобнее всего выразить их через ширину $b$. Примем ширину за $x$:
Ширина: $b = x$ см.
Тогда длина: $a = 3b = 3x$ см.
Тогда высота: $c = 2a = 2(3x) = 6x$ см.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$S = 2(ab + ac + bc)$

По условию задачи, площадь поверхности равна 864 см². Подставим наши выражения для $a, b, c$ в формулу и составим уравнение:
$2 \cdot ((3x \cdot x) + (3x \cdot 6x) + (x \cdot 6x)) = 864$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$2 \cdot (3x^2 + 18x^2 + 6x^2) = 864$
$2 \cdot (27x^2) = 864$
$54x^2 = 864$
$x^2 = \frac{864}{54}$
$x^2 = 16$
$x = \sqrt{16} = 4$ (мы берем только положительное значение корня, так как $x$ обозначает физическую величину - ширину).

Итак, мы нашли $x = 4$. Теперь можем вычислить все измерения параллелепипеда:
Ширина: $b = x = 4$ см.
Длина: $a = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Высота: $c = 6x = 6 \cdot 4 = 24$ см.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда: 4 см, 12 см и 24 см.