Номер 25.33, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

25.33 a) $ \frac{1}{2}abca + \frac{3}{4}b(-a)ca - \frac{1}{12}acba + \frac{5}{24}(-b)aca; $

б) $ 3nmk \cdot 4n - \frac{3}{8}nm \cdot \left(2\frac{2}{3}\right) \cdot nk + \frac{2}{9}n^2m \cdot \left(-4\frac{1}{2}\right)k. $

а)

Для упрощения данного выражения необходимо привести каждый одночлен к стандартному виду, а затем сложить подобные члены. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных, записанных в алфавитном порядке.

Исходное выражение:

$\frac{1}{2}abca + \frac{3}{4}b(-a)ca - \frac{1}{12}acba + \frac{5}{24}(-b)aca$

1. Приведем каждый член к стандартному виду. Для этого перемножим числовые коэффициенты и сгруппируем одинаковые переменные, записав их в виде степеней в алфавитном порядке ($a, b, c$).

• Первый член: $\frac{1}{2}abca = \frac{1}{2}(a \cdot a)bc = \frac{1}{2}a^2bc$
• Второй член: $\frac{3}{4}b(-a)ca = \frac{3}{4} \cdot (-1) \cdot (a \cdot a)bc = -\frac{3}{4}a^2bc$
• Третий член: $-\frac{1}{12}acba = -\frac{1}{12}(a \cdot a)bc = -\frac{1}{12}a^2bc$
• Четвертый член: $\frac{5}{24}(-b)aca = \frac{5}{24} \cdot (-1) \cdot (a \cdot a)bc = -\frac{5}{24}a^2bc$

2. Теперь, когда все члены приведены к стандартному виду, мы видим, что они являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2bc$. Сложим их коэффициенты.

$\frac{1}{2}a^2bc - \frac{3}{4}a^2bc - \frac{1}{12}a^2bc - \frac{5}{24}a^2bc = (\frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{1}{12} - \frac{5}{24})a^2bc$

3. Вычислим сумму коэффициентов, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2, 4, 12 и 24 равен 24.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}$

$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{2}{24}$

Подставим значения в выражение:

$(\frac{12}{24} - \frac{18}{24} - \frac{2}{24} - \frac{5}{24})a^2bc = \frac{12 - 18 - 2 - 5}{24}a^2bc = \frac{-6 - 2 - 5}{24}a^2bc = \frac{-13}{24}a^2bc$

Ответ: $-\frac{13}{24}a^2bc$

б)

Упростим данное выражение, приведя каждый член к стандартному виду и выполнив действия с подобными членами.

Исходное выражение:

$3nmk \cdot 4n - \frac{3}{8}nm \cdot (2\frac{2}{3}) \cdot nk + \frac{2}{9}n^2m \cdot (-4\frac{1}{2})k$

1. Упростим каждый член выражения отдельно. Для этого перемножим числовые коэффициенты, а переменные запишем в виде степеней.

• Первый член: $3nmk \cdot 4n = (3 \cdot 4) \cdot (n \cdot n) \cdot m \cdot k = 12n^2mk$
• Второй член: $-\frac{3}{8}nm \cdot (2\frac{2}{3}) \cdot nk$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
  Теперь перемножим: $(-\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}) \cdot (n \cdot n) \cdot m \cdot k = -1 \cdot n^2mk = -n^2mk$
• Третий член: $\frac{2}{9}n^2m \cdot (-4\frac{1}{2})k$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-4\frac{1}{2} = -\frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{9}{2}$.
  Перемножим: $(\frac{2}{9} \cdot (-\frac{9}{2})) \cdot n^2 \cdot m \cdot k = -1 \cdot n^2mk = -n^2mk$

2. Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение.

$12n^2mk - n^2mk - n^2mk$

3. Все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $n^2mk$. Сложим их коэффициенты.

$(12 - 1 - 1)n^2mk = 10n^2mk$

Ответ: $10n^2mk$