Номер 25.26, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

25.26 Ученик изготовил три куба. Ребро первого куба в 3 раза больше, чем ребро второго, а ребро третьего составляет $ \frac{4}{3} $ от ребра первого. Найдите ребро каждого куба, если объём первого куба на $296 \text{ см}^3$ меньше объёма третьего куба.

Обозначим длину ребра первого куба как $a_1$, второго — как $a_2$, и третьего — как $a_3$. Объём куба с ребром $a$ вычисляется по формуле $V = a^3$.

Согласно условию задачи составим систему соотношений:
1. Ребро первого куба в 3 раза больше ребра второго, что означает $a_1 = 3a_2$, или $a_2 = \frac{a_1}{3}$.
2. Ребро третьего куба составляет $\frac{4}{3}$ от ребра первого, то есть $a_3 = \frac{4}{3}a_1$.
3. Объём первого куба на 296 см³ меньше объёма третьего, что можно записать как $V_3 - V_1 = 296$.

Подставим в последнее уравнение выражения для объёмов $V_1 = a_1^3$ и $V_3 = a_3^3$, а затем заменим $a_3$ на выражение через $a_1$:
$a_3^3 - a_1^3 = 296$
$(\frac{4}{3}a_1)^3 - a_1^3 = 296$

Решим полученное уравнение относительно $a_1$:
$\frac{4^3}{3^3}a_1^3 - a_1^3 = 296$
$\frac{64}{27}a_1^3 - a_1^3 = 296$
Вынесем $a_1^3$ за скобки:
$a_1^3(\frac{64}{27} - 1) = 296$
$a_1^3(\frac{64 - 27}{27}) = 296$
$a_1^3 \cdot \frac{37}{27} = 296$

Найдем $a_1^3$:
$a_1^3 = 296 : \frac{37}{27} = 296 \cdot \frac{27}{37}$
Так как $296 \div 37 = 8$, то:
$a_1^3 = 8 \cdot 27 = 216$

Отсюда находим длину ребра первого куба, извлекая кубический корень: $a_1 = \sqrt[3]{216} = 6$ см.

Зная $a_1$, вычислим длины рёбер второго и третьего кубов:
Ребро второго куба: $a_2 = \frac{a_1}{3} = \frac{6}{3} = 2$ см.
Ребро третьего куба: $a_3 = \frac{4}{3}a_1 = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8$ см.

Ответ: ребро первого куба — 6 см, ребро второго куба — 2 см, ребро третьего куба — 8 см.