Номер 25.25, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

25.25 Для выполнения практической работы ученик получил три квадрата. Сторона первого квадрата в 2 раза меньше стороны третьего, а сторона второго составляет $\frac{2}{3}$ стороны третьего квадрата. Найдите сторону каждого квадрата, если сумма их площадей равна $61 \, \text{см}^2$.

Пусть $x$ см — длина стороны третьего квадрата.
Исходя из условия задачи, сторона первого квадрата в 2 раза меньше стороны третьего, следовательно, её длина составляет $\frac{x}{2}$ см.
Сторона второго квадрата составляет $\frac{2}{3}$ от стороны третьего, значит, её длина равна $\frac{2}{3}x$ см.

Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. Выразим площади всех трех квадратов через $x$:
$S_1 = (\frac{x}{2})^2 = \frac{x^2}{4}$
$S_2 = (\frac{2}{3}x)^2 = \frac{4x^2}{9}$
$S_3 = x^2$

Сумма площадей этих квадратов по условию равна 61 см². Составим и решим уравнение:
$\frac{x^2}{4} + \frac{4x^2}{9} + x^2 = 61$

Чтобы решить уравнение, вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2 \left( \frac{1}{4} + \frac{4}{9} + 1 \right) = 61$
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю 36:
$x^2 \left( \frac{9}{36} + \frac{16}{36} + \frac{36}{36} \right) = 61$
$x^2 \left( \frac{9+16+36}{36} \right) = 61$
$x^2 \left( \frac{61}{36} \right) = 61$

Теперь найдем значение $x^2$:
$x^2 = 61 \div \frac{61}{36} = 61 \cdot \frac{36}{61} = 36$
Так как $x$ — это длина стороны, она может быть только положительным числом:
$x = \sqrt{36} = 6$

Таким образом, сторона третьего квадрата равна 6 см. Теперь найдем длины сторон остальных квадратов:
Сторона первого квадрата: $\frac{x}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Сторона второго квадрата: $\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

Ответ: сторона первого квадрата — 3 см, сторона второго квадрата — 4 см, сторона третьего квадрата — 6 см.