Страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

25.24 Вкладчик положил в банк некоторую сумму денег из расчёта 10 % годовых. Через год он снял со своего вклада 600 р., в результате чего на его счёте осталась сумма, равная половине первоначального вклада. Сколько денег будет на счёте у вкладчика в конце второго года хранения?

Обозначим первоначальную сумму вклада через $S$ рублей.

Согласно условию, банк начисляет 10% годовых. Это значит, что через год сумма на счёте увеличится в $1 + \frac{10}{100} = 1.1$ раза и составит $1.1 \cdot S$ рублей.

После этого вкладчик снял со счёта 600 рублей. Сумма на счёте стала равна $1.1 \cdot S - 600$ рублей.

В задаче сказано, что эта сумма равна половине первоначального вклада, то есть $\frac{S}{2}$ или $0.5 \cdot S$.

Составим уравнение, чтобы найти первоначальный размер вклада $S$:
$1.1 \cdot S - 600 = 0.5 \cdot S$

Решим это уравнение:
$1.1 \cdot S - 0.5 \cdot S = 600$
$0.6 \cdot S = 600$
$S = \frac{600}{0.6}$
$S = 1000$
Таким образом, первоначальный вклад составлял 1000 рублей.

Сумма, которая осталась на счёте после снятия денег (и с которой начался второй год), равна половине первоначального вклада:
$\frac{1000}{2} = 500$ рублей.

В конце второго года на эту сумму (500 рублей) снова будут начислены 10% годовых. Рассчитаем итоговую сумму:
$500 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 500 \cdot 1.1 = 550$ рублей.

Ответ: в конце второго года хранения на счёте у вкладчика будет 550 рублей.

25.25 Для выполнения практической работы ученик получил три квадрата. Сторона первого квадрата в 2 раза меньше стороны третьего, а сторона второго составляет $\frac{2}{3}$ стороны третьего квадрата. Найдите сторону каждого квадрата, если сумма их площадей равна $61 \, \text{см}^2$.

Пусть $x$ см — длина стороны третьего квадрата.
Исходя из условия задачи, сторона первого квадрата в 2 раза меньше стороны третьего, следовательно, её длина составляет $\frac{x}{2}$ см.
Сторона второго квадрата составляет $\frac{2}{3}$ от стороны третьего, значит, её длина равна $\frac{2}{3}x$ см.

Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. Выразим площади всех трех квадратов через $x$:
$S_1 = (\frac{x}{2})^2 = \frac{x^2}{4}$
$S_2 = (\frac{2}{3}x)^2 = \frac{4x^2}{9}$
$S_3 = x^2$

Сумма площадей этих квадратов по условию равна 61 см². Составим и решим уравнение:
$\frac{x^2}{4} + \frac{4x^2}{9} + x^2 = 61$

Чтобы решить уравнение, вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2 \left( \frac{1}{4} + \frac{4}{9} + 1 \right) = 61$
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю 36:
$x^2 \left( \frac{9}{36} + \frac{16}{36} + \frac{36}{36} \right) = 61$
$x^2 \left( \frac{9+16+36}{36} \right) = 61$
$x^2 \left( \frac{61}{36} \right) = 61$

Теперь найдем значение $x^2$:
$x^2 = 61 \div \frac{61}{36} = 61 \cdot \frac{36}{61} = 36$
Так как $x$ — это длина стороны, она может быть только положительным числом:
$x = \sqrt{36} = 6$

Таким образом, сторона третьего квадрата равна 6 см. Теперь найдем длины сторон остальных квадратов:
Сторона первого квадрата: $\frac{x}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Сторона второго квадрата: $\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

Ответ: сторона первого квадрата — 3 см, сторона второго квадрата — 4 см, сторона третьего квадрата — 6 см.

25.26 Ученик изготовил три куба. Ребро первого куба в 3 раза больше, чем ребро второго, а ребро третьего составляет $ \frac{4}{3} $ от ребра первого. Найдите ребро каждого куба, если объём первого куба на $296 \text{ см}^3$ меньше объёма третьего куба.

Обозначим длину ребра первого куба как $a_1$, второго — как $a_2$, и третьего — как $a_3$. Объём куба с ребром $a$ вычисляется по формуле $V = a^3$.

Согласно условию задачи составим систему соотношений:
1. Ребро первого куба в 3 раза больше ребра второго, что означает $a_1 = 3a_2$, или $a_2 = \frac{a_1}{3}$.
2. Ребро третьего куба составляет $\frac{4}{3}$ от ребра первого, то есть $a_3 = \frac{4}{3}a_1$.
3. Объём первого куба на 296 см³ меньше объёма третьего, что можно записать как $V_3 - V_1 = 296$.

Подставим в последнее уравнение выражения для объёмов $V_1 = a_1^3$ и $V_3 = a_3^3$, а затем заменим $a_3$ на выражение через $a_1$:
$a_3^3 - a_1^3 = 296$
$(\frac{4}{3}a_1)^3 - a_1^3 = 296$

Решим полученное уравнение относительно $a_1$:
$\frac{4^3}{3^3}a_1^3 - a_1^3 = 296$
$\frac{64}{27}a_1^3 - a_1^3 = 296$
Вынесем $a_1^3$ за скобки:
$a_1^3(\frac{64}{27} - 1) = 296$
$a_1^3(\frac{64 - 27}{27}) = 296$
$a_1^3 \cdot \frac{37}{27} = 296$

Найдем $a_1^3$:
$a_1^3 = 296 : \frac{37}{27} = 296 \cdot \frac{27}{37}$
Так как $296 \div 37 = 8$, то:
$a_1^3 = 8 \cdot 27 = 216$

Отсюда находим длину ребра первого куба, извлекая кубический корень: $a_1 = \sqrt[3]{216} = 6$ см.

Зная $a_1$, вычислим длины рёбер второго и третьего кубов:
Ребро второго куба: $a_2 = \frac{a_1}{3} = \frac{6}{3} = 2$ см.
Ребро третьего куба: $a_3 = \frac{4}{3}a_1 = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8$ см.

Ответ: ребро первого куба — 6 см, ребро второго куба — 2 см, ребро третьего куба — 8 см.

Выполните действия:

25.27 а) $42b^2c^3d^2 + 54b^2c^3d^4 + 48b^2c^3d^2 + 12b^2c^3d^2$

б) $1,8m^3n^4z^8 + 3,2m^3n^4z^8 + 1,05m^3n^4z^8$

а) Чтобы упростить выражение $42b^2c^3d^2 + 54b^2c^3d^4 + 48b^2c^3d^2 + 12b^2c^3d^2$, необходимо найти и сложить подобные слагаемые. Подобными слагаемыми (или членами) называются те, у которых одинаковая буквенная часть.

В данном выражении есть три подобных слагаемых: $42b^2c^3d^2$, $48b^2c^3d^2$ и $12b^2c^3d^2$. Их общая буквенная часть — $b^2c^3d^2$.

Член $54b^2c^3d^4$ не является подобным остальным, так как степень переменной $d$ у него другая ($d^4$ вместо $d^2$).

Сгруппируем подобные члены и выполним сложение их коэффициентов:

$(42b^2c^3d^2 + 48b^2c^3d^2 + 12b^2c^3d^2) + 54b^2c^3d^4 = (42 + 48 + 12)b^2c^3d^2 + 54b^2c^3d^4$

Вычислим сумму в скобках:

$42 + 48 + 12 = 90 + 12 = 102$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$102b^2c^3d^2 + 54b^2c^3d^4$

Ответ: $102b^2c^3d^2 + 54b^2c^3d^4$.

б) В выражении $1,8m^3n^4z^8 + 3,2m^3n^4z^8 + 1,05m^3n^4z^8$ все три члена являются подобными, так как у них абсолютно одинаковая буквенная часть: $m^3n^4z^8$.

Чтобы выполнить действия, сложим числовые коэффициенты этих членов, а буквенную часть оставим без изменений.

$(1,8 + 3,2 + 1,05)m^3n^4z^8$

Вычислим сумму коэффициентов:

$1,8 + 3,2 = 5,0$

$5,0 + 1,05 = 6,05$

Таким образом, итоговое выражение равно:

$6,05m^3n^4z^8$

Ответ: $6,05m^3n^4z^8$.

25.28 a) $ \frac{1}{2} a^2 b^2 c^n + \frac{1}{3} a^2 b^2 c^n + \frac{1}{8} a^2 b^2 c^n; $

б) $ 3,09 x^n y^n z^n + \frac{1}{10} x^n y^n z^n + 0,01 x^n y^n z^n + \frac{1}{20} x^n y^n z^n. $

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо сложить коэффициенты при подобных слагаемых. Все три слагаемых $ \frac{1}{2}a^2b^2c^n $, $ \frac{1}{3}a^2b^2c^n $ и $ \frac{1}{8}a^2b^2c^n $ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $ a^2b^2c^n $.

Сложим их коэффициенты: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{8} $.

Для сложения дробей найдем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 8 равно 24.

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24} $

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24} $

$ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24} $

Теперь сложим полученные дроби:

$ \frac{12}{24} + \frac{8}{24} + \frac{3}{24} = \frac{12 + 8 + 3}{24} = \frac{23}{24} $

Результат сложения коэффициентов умножаем на общую буквенную часть:

$ (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{8})a^2b^2c^n = \frac{23}{24}a^2b^2c^n $

Ответ: $ \frac{23}{24}a^2b^2c^n $.

б) В данном выражении $ 3,09x^ny^nz^n + \frac{1}{10}x^ny^nz^n + 0,01x^ny^nz^n + \frac{1}{20}x^ny^nz^n $ все слагаемые также являются подобными, так как имеют общую буквенную часть $ x^ny^nz^n $.

Чтобы упростить выражение, сложим их коэффициенты: $ 3,09 + \frac{1}{10} + 0,01 + \frac{1}{20} $.

Для удобства вычислений представим все коэффициенты в виде десятичных дробей:

$ \frac{1}{10} = 0,1 $

$ \frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 0,05 $

Теперь сложим все коэффициенты:

$ 3,09 + 0,1 + 0,01 + 0,05 = 3,19 + 0,01 + 0,05 = 3,20 + 0,05 = 3,25 $

Умножим полученную сумму на общую буквенную часть:

$ (3,09 + \frac{1}{10} + 0,01 + \frac{1}{20})x^ny^nz^n = 3,25x^ny^nz^n $

Ответ: $ 3,25x^ny^nz^n $.

25.29 a) $$-1,4a^3 - (-0,09a^3) + (-1,5a^3) + 2a^3;$$

б) $$3,9x^4 + (-2,7x^4) - (-0,8x^4) + (-2x^4).$$

а) Чтобы упростить выражение $-1,4a^3 - (-0,09a^3) + (-1,5a^3) + 2a^3$, необходимо выполнить действия с подобными слагаемыми. Все члены выражения имеют одинаковую переменную часть $a^3$, поэтому они являются подобными.

1. Раскроем скобки, учитывая знаки:

$-1,4a^3 - (-0,09a^3) + (-1,5a^3) + 2a^3 = -1,4a^3 + 0,09a^3 - 1,5a^3 + 2a^3$

2. Сгруппируем коэффициенты при $a^3$ и выполним сложение и вычитание:

$(-1,4 + 0,09 - 1,5 + 2)a^3$

3. Вычислим значение в скобках:

$-1,4 - 1,5 = -2,9$

$0,09 + 2 = 2,09$

$-2,9 + 2,09 = -0,81$

4. В результате получаем:

$-0,81a^3$

Ответ: $-0,81a^3$

б) Упростим выражение $3,9x^4 + (-2,7x^4) - (-0,8x^4) + (-2x^4)$. Все члены этого выражения также являются подобными слагаемыми, так как имеют одинаковую переменную часть $x^4$.

1. Раскроем скобки:

$3,9x^4 + (-2,7x^4) - (-0,8x^4) + (-2x^4) = 3,9x^4 - 2,7x^4 + 0,8x^4 - 2x^4$

2. Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки и выполним действия с коэффициентами:

$(3,9 - 2,7 + 0,8 - 2)x^4$

3. Вычислим значение в скобках, сгруппировав положительные и отрицательные числа для удобства:

$(3,9 + 0,8) - (2,7 + 2) = 4,7 - 4,7 = 0$

4. В результате получаем:

$0 \cdot x^4 = 0$

Ответ: $0$

25.30 a) $-\frac{c}{5} + \left(-\frac{c}{3}\right) - \left(-\frac{2c}{5}\right) - \frac{c}{60};$

б) $-\frac{p}{5} - \left(-\frac{2p}{3}\right) - \frac{p}{4} + \left(-\frac{p}{60}\right).$

а) Для решения данного примера необходимо упростить выражение. Сначала раскроем скобки, обращая внимание на знаки.

$-\frac{c}{5} + (-\frac{c}{3}) - (-\frac{2c}{5}) - \frac{c}{60} = -\frac{c}{5} - \frac{c}{3} + \frac{2c}{5} - \frac{c}{60}$

Теперь сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями для удобства:

$(-\frac{c}{5} + \frac{2c}{5}) - \frac{c}{3} - \frac{c}{60} = \frac{-c + 2c}{5} - \frac{c}{3} - \frac{c}{60} = \frac{c}{5} - \frac{c}{3} - \frac{c}{60}$

Найдём наименьший общий знаменатель для чисел 5, 3 и 60. Это число 60. Приведем все дроби к знаменателю 60:

$\frac{c}{5} = \frac{c \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{12c}{60}$

$\frac{c}{3} = \frac{c \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{20c}{60}$

Подставим полученные дроби обратно в выражение и выполним вычисления:

$\frac{12c}{60} - \frac{20c}{60} - \frac{c}{60} = \frac{12c - 20c - c}{60} = \frac{(12 - 20 - 1)c}{60} = \frac{-9c}{60}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 9 и 60 равен 3.

$\frac{-9c : 3}{60 : 3} = -\frac{3c}{20}$

Ответ: $-\frac{3c}{20}$.

б) Упростим данное выражение, начав с раскрытия скобок.

$-\frac{p}{5} - (-\frac{2p}{3}) - \frac{p}{4} + (-\frac{p}{60}) = -\frac{p}{5} + \frac{2p}{3} - \frac{p}{4} - \frac{p}{60}$

Найдём наименьший общий знаменатель для чисел 5, 3, 4 и 60. Это число 60. Приведем все дроби к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:

$-\frac{p \cdot 12}{5 \cdot 12} + \frac{2p \cdot 20}{3 \cdot 20} - \frac{p \cdot 15}{4 \cdot 15} - \frac{p}{60} = -\frac{12p}{60} + \frac{40p}{60} - \frac{15p}{60} - \frac{p}{60}$

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем выполнить действия с их числителями:

$\frac{-12p + 40p - 15p - p}{60} = \frac{(-12 + 40 - 15 - 1)p}{60} = \frac{(28 - 16)p}{60} = \frac{12p}{60}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 60 равен 12.

$\frac{12p : 12}{60 : 12} = \frac{p}{5}$

Ответ: $\frac{p}{5}$.