Страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

29.11 a) $2x \cdot 4y - 3x \cdot 2y - 0,2x \cdot 5y + y \cdot 5x - 5xy + 8xy;$

б) $xpxx - p \cdot 3px - p \cdot 4x^3 + 7pxp;$

В) $15r^3s - 5rsr^2 - 3srrr + 2r^2sr;$

Г) $7xax + a \cdot 2ax + x \cdot 9xa - 8axa.$

а) $2x \cdot 4y - 3x \cdot 2y - 0,2x \cdot 5y + y \cdot 5x - 5xy + 8xy$

Для упрощения данного выражения сначала приведем каждый его член к стандартному виду, перемножив числовые коэффициенты и переменные:

$2x \cdot 4y = (2 \cdot 4)xy = 8xy$

$-3x \cdot 2y = -(3 \cdot 2)xy = -6xy$

$-0,2x \cdot 5y = -(0,2 \cdot 5)xy = -1xy = -xy$

$y \cdot 5x = 5xy$

Теперь подставим полученные одночлены в исходное выражение:

$8xy - 6xy - xy + 5xy - 5xy + 8xy$

Все члены этого выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $xy$. Сложим их коэффициенты:

$(8 - 6 - 1 + 5 - 5 + 8)xy = (2 - 1 + 5 - 5 + 8)xy = (1 + 5 - 5 + 8)xy = (6 - 5 + 8)xy = (1 + 8)xy = 9xy$

Ответ: $9xy$

б) $xpxx - p \cdot 3px - p \cdot 4x^3 + 7pxp$

Приведем каждый член к стандартному виду:

$xpxx = p \cdot (x \cdot x \cdot x) = px^3$

$-p \cdot 3px = -3 \cdot (p \cdot p) \cdot x = -3p^2x$

$-p \cdot 4x^3 = -4px^3$

$7pxp = 7 \cdot (p \cdot p) \cdot x = 7p^2x$

Подставим стандартные одночлены в выражение:

$px^3 - 3p^2x - 4px^3 + 7p^2x$

Теперь сгруппируем и приведем подобные члены. Подобными являются члены с одинаковой буквенной частью. В данном случае это $px^3$ и $-4px^3$, а также $-3p^2x$ и $7p^2x$.

$(px^3 - 4px^3) + (-3p^2x + 7p^2x) = (1 - 4)px^3 + (-3 + 7)p^2x = -3px^3 + 4p^2x$

Ответ: $4p^2x - 3px^3$

в) $15r^3s - 5rsr^2 - 3srrr + 2r^2sr$

Приведем каждый член к стандартному виду:

$15r^3s$ — уже в стандартном виде.

$-5rsr^2 = -5 \cdot (r \cdot r^2) \cdot s = -5r^3s$

$-3srrr = -3 \cdot s \cdot (r \cdot r \cdot r) = -3r^3s$

$2r^2sr = 2 \cdot (r^2 \cdot r) \cdot s = 2r^3s$

Подставим стандартные одночлены в выражение:

$15r^3s - 5r^3s - 3r^3s + 2r^3s$

Все члены этого выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $r^3s$. Сложим их коэффициенты:

$(15 - 5 - 3 + 2)r^3s = (10 - 3 + 2)r^3s = (7 + 2)r^3s = 9r^3s$

Ответ: $9r^3s$

г) $7xax + a \cdot 2ax + x \cdot 9xa - 8axa$

Приведем каждый член к стандартному виду, располагая переменные в алфавитном порядке:

$7xax = 7 \cdot (a \cdot a) \cdot x = 7a^2x$

$a \cdot 2ax = 2 \cdot (a \cdot a) \cdot x = 2a^2x$

$x \cdot 9xa = 9 \cdot a \cdot (x \cdot x) = 9ax^2$

$-8axa = -8 \cdot (a \cdot a) \cdot x = -8a^2x$

Подставим стандартные одночлены в выражение:

$7a^2x + 2a^2x + 9ax^2 - 8a^2x$

Сгруппируем и приведем подобные члены. Подобными являются члены с буквенной частью $a^2x$. Член $9ax^2$ не имеет подобных.

$(7a^2x + 2a^2x - 8a^2x) + 9ax^2 = (7 + 2 - 8)a^2x + 9ax^2 = (9 - 8)a^2x + 9ax^2 = 1a^2x + 9ax^2 = a^2x + 9ax^2$

Ответ: $a^2x + 9ax^2$

29.12 Приведите многочлен к стандартному виду и запишите его в порядке убывания степеней переменной:

а) $15p + 18p^2 + 4 - 12p + 3p^2 - p^4$;

б) $1,4x^2 - 4,1x^3 + x - 3,1 + x + 1,3x^3$;

в) $\frac{1}{4}a + \frac{3}{5}a^2 - \frac{3}{4}a^2 + \frac{7}{8} - \frac{2}{3}a$;

г) $0,2y^4 - 3,5y - 1,2y^4 - 1 + 3,5y.$

а) $15p + 18p^2 + 4 - 12p + 3p^2 - p^4$

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо сгруппировать и сложить подобные члены (одночлены с одинаковой переменной частью), а затем расположить их в порядке убывания степеней переменной.

1. Сгруппируем подобные члены:

$(-p^4) + (18p^2 + 3p^2) + (15p - 12p) + 4$

2. Приведем (сложим) подобные члены:

$18p^2 + 3p^2 = (18+3)p^2 = 21p^2$

$15p - 12p = (15-12)p = 3p$

3. Запишем многочлен, объединив полученные члены:

$-p^4 + 21p^2 + 3p + 4$

Члены многочлена расположены в порядке убывания степеней (4, 2, 1, 0), что соответствует стандартному виду.

Ответ: $-p^4 + 21p^2 + 3p + 4$

б) $1,4x^2 - 4,1x^3 + x - 3,1 + x + 1,3x^3$

1. Сгруппируем подобные члены:

$(-4,1x^3 + 1,3x^3) + 1,4x^2 + (x + x) - 3,1$

2. Приведем подобные члены:

$-4,1x^3 + 1,3x^3 = (-4,1+1,3)x^3 = -2,8x^3$

$x + x = (1+1)x = 2x$

3. Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней переменной $x$:

$-2,8x^3 + 1,4x^2 + 2x - 3,1$

Ответ: $-2,8x^3 + 1,4x^2 + 2x - 3,1$

в) $\frac{1}{4}a + \frac{3}{5}a^2 - \frac{3}{4}a^2 + \frac{7}{8} - \frac{2}{3}a$

1. Сгруппируем подобные члены:

$(\frac{3}{5}a^2 - \frac{3}{4}a^2) + (\frac{1}{4}a - \frac{2}{3}a) + \frac{7}{8}$

2. Приведем подобные члены, находя их сумму или разность. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

Для членов с $a^2$: $\frac{3}{5}a^2 - \frac{3}{4}a^2 = (\frac{3 \cdot 4}{20} - \frac{3 \cdot 5}{20})a^2 = (\frac{12 - 15}{20})a^2 = -\frac{3}{20}a^2$

Для членов с $a$: $\frac{1}{4}a - \frac{2}{3}a = (\frac{1 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12})a = (\frac{3 - 8}{12})a = -\frac{5}{12}a$

3. Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней:

$-\frac{3}{20}a^2 - \frac{5}{12}a + \frac{7}{8}$

Ответ: $-\frac{3}{20}a^2 - \frac{5}{12}a + \frac{7}{8}$

г) $0,2y^4 - 3,5y - 1,2y^4 - 1 + 3,5y$

1. Сгруппируем подобные члены:

$(0,2y^4 - 1,2y^4) + (-3,5y + 3,5y) - 1$

2. Приведем подобные члены:

$0,2y^4 - 1,2y^4 = (0,2 - 1,2)y^4 = -1y^4 = -y^4$

$-3,5y + 3,5y = (-3,5 + 3,5)y = 0 \cdot y = 0$

3. Запишем многочлен. Так как сумма членов с переменной $y$ равна нулю, они исчезают из многочлена:

$-y^4 - 1$

Члены уже расположены в порядке убывания степеней.

Ответ: $-y^4 - 1$

29.13 Приведите многочлен к стандартному виду и найдите его значение:

а) $a^3b + a^2b - 3ab^2 + 2a^2b + 2ab^2$ при $a = -1, b = 2;$

б) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y^2 + 0,3x - x + \frac{5}{9}y^2$ при $x = 5, y = \frac{3}{4};$

в) $m^4 - 3m^3n + m^2n^2 - m^3n - 4m^2n^2$ при $m = -\frac{1}{2}, n = \frac{1}{3};$

г) $6p^2q - 5pq^2 + 5p^3 + 2pq^2 - 8p^3 - 3p^2q$ при $p = -2, q = 0,5.$

а) Исходный многочлен: $a^3b + a^2b - 3ab^2 + 2a^2b + 2ab^2$.
Сначала приведем многочлен к стандартному виду, сгруппировав и сложив подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью):
$a^3b + (a^2b + 2a^2b) + (-3ab^2 + 2ab^2) = a^3b + 3a^2b - ab^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степени переменной $a$:
$a^3b + 3a^2b - ab^2$.
Теперь найдем значение выражения при $a = -1$ и $b = 2$.
Подставим значения переменных в упрощенный многочлен:
$a^3b + 3a^2b - ab^2 = (-1)^3 \cdot 2 + 3 \cdot (-1)^2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2^2 = (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 4 = -2 + 6 + 4 = 8$.
Ответ: 8

б) Исходный многочлен: $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y^2 + 0,3x - x + \frac{5}{9}y^2$.
Приведем многочлен к стандартному виду. Для этого сгруппируем и сложим подобные члены.
Группа с $x$: $\frac{1}{2}x + 0,3x - x$.
Группа с $y^2$: $-\frac{1}{3}y^2 + \frac{5}{9}y^2$.
Представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Вычислим сумму коэффициентов при $x$:
$\frac{1}{2} + \frac{3}{10} - 1 = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} - \frac{10}{10} = \frac{5+3-10}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Вычислим сумму коэффициентов при $y^2$:
$-\frac{1}{3} + \frac{5}{9} = -\frac{3}{9} + \frac{5}{9} = \frac{-3+5}{9} = \frac{2}{9}$.
Стандартный вид многочлена: $-\frac{1}{5}x + \frac{2}{9}y^2$.
Найдем значение выражения при $x = 5$ и $y = \frac{3}{4}$.
Подставим значения:
$-\frac{1}{5}x + \frac{2}{9}y^2 = -\frac{1}{5} \cdot 5 + \frac{2}{9} \cdot (\frac{3}{4})^2 = -1 + \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{16} = -1 + \frac{2 \cdot 9}{9 \cdot 16} = -1 + \frac{2}{16} = -1 + \frac{1}{8} = -\frac{8}{8} + \frac{1}{8} = -\frac{7}{8}$.
Ответ: $-\frac{7}{8}$

в) Исходный многочлен: $m^4 - 3m^3n + m^2n^2 - m^3n - 4m^2n^2$.
Приведем многочлен к стандартному виду, сгруппировав подобные члены:
$m^4 + (-3m^3n - m^3n) + (m^2n^2 - 4m^2n^2) = m^4 - 4m^3n - 3m^2n^2$.
Найдем значение выражения при $m = -\frac{1}{2}$ и $n = \frac{1}{3}$.
Подставим значения в упрощенный многочлен:
$m^4 - 4m^3n - 3m^2n^2 = (-\frac{1}{2})^4 - 4(-\frac{1}{2})^3(\frac{1}{3}) - 3(-\frac{1}{2})^2(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{16} - 4(-\frac{1}{8})(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{4})(\frac{1}{9}) = \frac{1}{16} + \frac{4}{24} - \frac{3}{36} = \frac{1}{16} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 48:
$\frac{1 \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 8}{6 \cdot 8} - \frac{1 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{3}{48} + \frac{8}{48} - \frac{4}{48} = \frac{3+8-4}{48} = \frac{7}{48}$.
Ответ: $\frac{7}{48}$

г) Исходный многочлен: $6p^2q - 5pq^2 + 5p^3 + 2pq^2 - 8p^3 - 3p^2q$.
Приведем многочлен к стандартному виду. Сгруппируем подобные члены и расположим их в порядке убывания степени переменной $p$:
$(5p^3 - 8p^3) + (6p^2q - 3p^2q) + (-5pq^2 + 2pq^2) = -3p^3 + 3p^2q - 3pq^2$.
Найдем значение выражения при $p = -2$ и $q = 0,5$.
Подставим значения в упрощенный многочлен:
$-3p^3 + 3p^2q - 3pq^2 = -3(-2)^3 + 3(-2)^2(0,5) - 3(-2)(0,5)^2 = -3(-8) + 3(4)(0,5) - 3(-2)(0,25) = 24 + 12 \cdot 0,5 + 6 \cdot 0,25 = 24 + 6 + 1,5 = 31,5$.
Ответ: 31,5

29.14 Дан многочлен $p(x) = 7x^3 - x + 2x^2 - 5x^3 + x^2 - x - 3.$

a) Приведите многочлен $p(x)$ к стандартному виду.

б) Вычислите $p(1), p(-1), p(2), p(\frac{1}{2}).$

а) Приведите многочлен p(x) к стандартному виду.

Дан многочлен $p(x) = 7x^3 - x + 2x^2 - 5x^3 + x^2 - x - 3$.
Для приведения многочлена к стандартному виду необходимо найти и сложить подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени), а затем расположить их в порядке убывания степеней переменной.

Сгруппируем подобные члены:
$p(x) = (7x^3 - 5x^3) + (2x^2 + x^2) + (-x - x) - 3$

Выполним действия в каждой группе:
$p(x) = (7-5)x^3 + (2+1)x^2 + (-1-1)x - 3$
$p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$

Ответ: $p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$.

б) Вычислите $p(1)$, $p(-1)$, $p(2)$, $p(\frac{1}{2})$.

Для вычислений используем многочлен в стандартном виде: $p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$.

Вычислим значение $p(1)$, подставив $x = 1$ в многочлен:
$p(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 2(1) - 3 = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 2 - 3 = 2 + 3 - 2 - 3 = 0$.

Вычислим значение $p(-1)$, подставив $x = -1$ в многочлен:
$p(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 - (-2) - 3 = -2 + 3 + 2 - 3 = 0$.

Вычислим значение $p(2)$, подставив $x = 2$ в многочлен:
$p(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 2(2) - 3 = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 - 4 - 3 = 16 + 12 - 4 - 3 = 28 - 7 = 21$.

Вычислим значение $p(\frac{1}{2})$, подставив $x = \frac{1}{2}$ в многочлен:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + 3(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) - 3 = 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{4} - 1 - 3 = \frac{2}{8} + \frac{3}{4} - 4 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 4 = \frac{4}{4} - 4 = 1 - 4 = -3$.

Ответ: $p(1)=0$; $p(-1)=0$; $p(2)=21$; $p(\frac{1}{2})=-3$.

29.15 Дан многочлен $p(y) = 9y^4 + 3y^2 - 2y^3 - y - 8y^4 - 3y^2 + 2.$

а) Приведите многочлен $p(y)$ к стандартному виду.

б) Вычислите $p(1), p(-1), p(2), p(\frac{1}{2}).$

а) Приведите многочлен p(y) к стандартному виду.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо сгруппировать и сложить подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени), а затем расположить их в порядке убывания степеней переменной.
Исходный многочлен: $p(y) = 9y^4 + 3y^2 - 2y^3 - y - 8y^4 - 3y^2 + 2$.
Сгруппируем подобные члены:
$p(y) = (9y^4 - 8y^4) - 2y^3 + (3y^2 - 3y^2) - y + 2$
Выполним действия в скобках:
$9y^4 - 8y^4 = (9-8)y^4 = y^4$
$3y^2 - 3y^2 = (3-3)y^2 = 0 \cdot y^2 = 0$
Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение и расположим члены по убыванию степеней:
$p(y) = y^4 - 2y^3 - y + 2$
Это и есть стандартный вид многочлена.
Ответ: $p(y) = y^4 - 2y^3 - y + 2$.

б) Вычислите p(1), p(-1), p(2), p(1/2).
Для вычислений будем использовать многочлен, приведенный к стандартному виду: $p(y) = y^4 - 2y^3 - y + 2$.

1. Вычислим $p(1)$, подставив $y=1$ в многочлен:
$p(1) = (1)^4 - 2(1)^3 - 1 + 2 = 1 - 2 \cdot 1 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$.

2. Вычислим $p(-1)$, подставив $y=-1$ в многочлен:
$p(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - (-1) + 2 = 1 - 2 \cdot (-1) + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 + 2 = 6$.

3. Вычислим $p(2)$, подставив $y=2$ в многочлен:
$p(2) = (2)^4 - 2(2)^3 - 2 + 2 = 16 - 2 \cdot 8 - 2 + 2 = 16 - 16 - 2 + 2 = 0$.

4. Вычислим $p(\frac{1}{2})$, подставив $y=\frac{1}{2}$ в многочлен:
$p(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} - \frac{2}{8} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2$.
Приведем все члены к общему знаменателю 16:
$p(\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{4}{16} - \frac{8}{16} + \frac{32}{16} = \frac{1 - 4 - 8 + 32}{16} = \frac{21}{16}$.

Ответ: $p(1) = 0$; $p(-1) = 6$; $p(2) = 0$; $p(\frac{1}{2}) = \frac{21}{16}$.